解题指导

解决与证明线段相等或角相等有关的题目，有时需要添加适当的辅助线，构造全等三角形，借助全等三角形的性质来解决下面举例进行说明

一、连对角线

例 1、如图 1，在四边形 ABCD中， AB= AD， CB= CD.求证：∠ B=∠ D.

诺诺的分析：先连接 AC，由于 AB= AD， CB= CD， AC= AC，利用“ SSS”可证△ ABC≌△ ADC，于是∠ B=∠ D.

证明：如图 2，连接 AC.

在△ ABC和△ ADC中，

∴△ ABC≌△ ADC（ SSS）.∴∠ B=∠ D．

二、倍长中线

例 2、如图 3，在△ ABC中， AB= 12， AC= 18， AD是 BC边上的中线，求 AD的取值范围.

诺诺的分析：求线段 AD的取值范围，联想到三角形的三边关系，因此需要将 AB, AC, AD转移到同一个三角形中，把中线 AD延长一倍至点 E，连接 CE，构造新的△ ECD，证明△ ABD≌△ ECD，这样把 AB转化为 EC，在△ ECD中求出 AD的范围即可.

解：如图 4，延长 AD至点 E，使 DE= AD，连接 CE．

在△ ABD和△ ECD中，

所以△ ABD≌△ ECD（ SAS）.所以 CE= AB．

在△ ACE中， CE-AC＜ AE＜ CE+ AC，即 2＜ 2 AD＜ 18，

所以 1＜ AD＜ 9．

三、作垂线

例 3、如图 5，点 E是 BC的中点，点 A在 DE上，且∠ BAE=∠ CDE.求证： AB= DC.

诺诺的分析：解决本题可根据点 E为 BC的中点，构造以 BE， CE为边的全等三角形.为此，可过点 B， C分别作 DE的垂线 BF， CG，证明△ BEF≌△ CEG，得到 BF= CG，然后再证明△ ABF≌△ DCG，得到 AB= AC.

证明：如图 6，作 BF⊥ DE于点 F， CG⊥ DE于点 G．

∴∠ F=∠ CGE= 90°．

在△ BEF和△ CEG中，

∴△ BFE≌△ CGE（ AAS）．∴ BF= CG．

在△ ABF和△ DCG中，

∴△ ABF≌△ DCG（ AAS）．∴ AB= CD．

自我检测：

练习：如图 7，已知 AC与 BD相交于点 E，且 AD= BC， AC= BD.求证：∠ C=∠ D.

参考答案：

证明：如图 8，连接 AB.

在△ ABC和△ BAD中，

所以△ ABC≌△ BAD（ SSS）.所以∠ C=∠ D.