知识解读：

当一个三角形中出现角平分线和平行线时,一定会有等腰三角形出现如图 1中,若 AC平分∠ BCE, AD∥ CE,则 AD= DC;图 2中,若 AD平分∠ BAC, ED∥ AC,则 AE= DE;图 3中,若 AD平分∠ BAC， CE∥ AB,则 AC= CE.

解题指导：

平行线、角平分线联手作为条件，能解决许多问题．二者联手证明等腰三角形，就是一个典型，请看下面的例子．

例 1如图 4， AD∥ BC， BD平分∠ ABC．求证： AB= AD．

舟舟的分析：由平行线以及角平分线的性质，证明∠ ABD与∠ ADB都等于∠ CBD即可．

证明：∵ BD平分∠ ABC，∴∠ ABD=∠ CBD．

∵ AD∥ BC，∴∠ ADB=∠ CBD.

∴∠ ABD=∠ ADB．∴ AB= AD．

例 2如图 5， BE是△ ABC的角平分线，过点 E作 DE∥ BC，交 BA于点 D．求证： BD= DE．

舟舟的分析：要证明 BD= DE，根据等腰三角形的判定方法，需要证明∠ DEB=∠ ABE．由平行线的性质，易得∠ DEB=∠ CBE，由角平分线的性质，易得∠ ABE=∠ CBE，从而∠ DEB=∠ ABE，故 BD= DE．

证明：∵ BE是∠ ABC的角平分线，∴∠ ABE=∠ CBE．

∵ DE∥ BC，∴∠ DEB=∠ CBE.

∴∠ DEB=∠ ABE．∴ BD= DE．

小试牛刀：

1. 如图 6，已知 AE∥ BC， AE平分∠ DAC．求证： AB= AC．

舟舟的分析：要证明 AB= AC，可先证明∠ B=∠ C．由 AE∥ BC，得∠ 1=∠ B，∠ 2=∠ C，故需要证明∠ 1=∠ 2，而 AE平分∠ DAC，所以∠ B=∠ C，故本题得证．

证明：∵ AE平分∠ EAC，∴∠ 1=∠ 2．

∵ AE∥ BC，∴∠ 1=∠ B，∠ 2=∠ C．

∴∠ B=∠ C．∴△ ABC是等腰三角形．