考点三：规律探究型：

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用

例 1、如图（*），四边形 ABCD是正方形，点 E是边 BC的中点，∠ AEF= 90°，且 EF交正方形外角平分线 CF于点 F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

（ 1）探究 1：小强看到图（*）后，很快发现 AE= EF，这需要证明 AE和 EF所在的两个三角形全等，但△ ABE和△ ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点 E是边 BC的中点，因此可以选取 AB的中点 M，连接 EM后尝试着去证△ AEM≌ EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：

证明：如图 1，取 AB的中点 M，连接 EM．

∵∠ AEF= 90°,∴∠ FEC+∠ AEB= 90°.

又∵∠ EAM+∠ AEB= 90°,∴∠ EAM=∠ FEC.

∵点 E， M分别为正方形的边 BC和 AB的中点,∴ AM= EC.

又可知△ BME是等腰直角三角形,∴∠ AME= 135°.

又∵ CF是正方形外角的平分线,∴∠ ECF= 135°.

∴△ AEM≌△ EFC（ ASA）.∴ AE= EF.

（ 2）探究 2：小强继续探索，如图 2，若把条件“点 E是边 BC的中点”改为“点 E是边 BC上的任意一点”，其余条件不变，发现 AE= EF仍然成立，请你证明这一结论．

（ 3）探究 3：小强进一步还想试试，如图 3，若把条件“点 E是边 BC的中点”改为“点 E是边 BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论 AE= EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

分析:（ 2）在 AB上截取 AM= EC，然后证明∠ EAM= FEC，∠ AME=∠ ECF= 135°，再利用“角边角”证明△ AEM和△ EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；

（ 3）延长 BA到点 M，使 AM= CE，然后证明∠ BME= 45°，从而得到∠ BME=∠ ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明∠ DAE=∠ BEA，然后得到∠ MAE=∠ CEF，再利用“角边角”证明△ MAE和△ CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．

（ 2）探究 2，证明：如图 4，在 AB上截取 AM= EC，连接 ME.

由（ 1）知∠ EAM=∠ FEC.

∵ AM= EC， AB= BC，∴ BM= BE.

∴∠ BME= 45°.∴∠ AME=∠ ECF= 135°.

∵∠ AEF= 90°.∴∠ FEC+∠ AEB= 90°.

又∵∠ EAM+∠ AEB= 90°.∴∠ EAM=∠ FEC.

在△ AEM和△ EFC中，

∴△ AEM≌△ EFC（ ASA）.∴ AE= EF.

（ 3）探究 3：成立.

证明：如图 5，延长 BA到点 M，使 AM= CE，连接 ME.

∴ BM= BE.∴∠ BME= 45°.∴∠ BME=∠ ECF.

又∵ AD∥ BE，∴∠ DAE=∠ BEA.

又∵∠ MAD=∠ AEF= 90°，

∴∠ DAE+∠ MAD=∠ BEA+∠ AEF，即∠ MAE=∠ CEF.

在△ MAE和△ CEF中，

∴△ MAE≌△ CEF（ ASA），∴ AE= EF．

考点四：存在探索型：

此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．

例 2、如图 6，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC的边 OC， OA分别与 x轴， y轴重合， AB∥ OC，∠ AOC= 90°，∠ BCO= 45°， BC= 6，点 C的坐标为（﹣ 9， 0）．

（ 1）求点 B的坐标；

（ 2）若直线 DE交梯形对角线 BO于点 D，交 y轴于点 E，且 OE= 2， OD= 2 BD，求直线 DE的解析式；

（ 3）若点 P是（ 2）中直线 DE上的一个动点，是否存在点 P，使以 O、 E、 P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析:（ 1）过点 B作 BF⊥ x轴于点 F，在 Rt△ BCF中，已知∠ BCO= 45°， BC= 6，解直角三角形求 CF， BF，确定点 B坐标；

（ 2）过点 D作 DG⊥ y轴于点 G，由平行线的性质得出△ ODG∽△ OBA，利用相似比求 DG， OG，确定点 D坐标，由已知得点 E坐标，利用“两点法”求直线 DE的解析式；

（ 3）存在．由已知的 OE= 2，分别以 O， E为圆心， 2为半径画弧，与直线 DE相交，或作线段 OE的垂直平分线与直线 DE相交，交点即为所求．

解：（ 1）如图 7，过点 B作 BF⊥ x轴于 F.

在 Rt△ BCF中，∵∠ BCO= 45°， BC= 6，∴ CF= BF= 6.

∵ C的坐标为（﹣ 9， 0），∴ AB= OF= 3，

∴点 B的坐标为（﹣ 3， 6）.

（ 2）过点 D作 DG⊥ y轴于点 G.

∵ AB∥ DG，∴△ ODG∽△ OBA.

∵===， AB= 3， OA= 6，∴ DG= 2， OG= 4.

∴ D（﹣ 2， 4）， E（ 0， 2）.

设直线 DE解析式为 y= kx+ b（ k≠ 0），

∴∴

∴直线 DE解析式为 y=﹣ x+ 2.

（ 3）存在 P₁（ 2， 0）、 P₂（ 1， 1）、 P₃（， 2﹣）、 P₄（﹣， 2+）

现在就练：

如图，已知抛物线 y= x²﹣（ b+ 1） x+（ b是实数且 b＞ 2）与 x轴的正半轴分别交于点 A、 B（点 A位于点 B的左侧），与 y轴的正半轴交于点 C．

（ 1）点 B的坐标为　，点 C的坐标为　（用含 b的代数式表示）；

（ 2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB的面积等于 2 b，且△ PBC是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（ 3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得△ QCO，△ QOA和△ QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（ 1）令 y= 0，即 y= x²﹣（ b+ 1） x+= 0，解得： x= 1或 b.

∵ b是实数且 b＞ 2，点 A位于点 B的左侧，∴点 B的坐标为（ b， 0）.

令 x= 0，解得 y=.

∴点 C的坐标为（ 0，）

故答案为：（ b， 0），（ 0，）

（ 2）存在.

假设存在这样的点 P，使得四边形 PCOB的面积等于 2 b，且△ PBC是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形．

设点 P的坐标为（ x， y），连接 OP．

则 S_四边形_POCB= S_△_PCO+ S_△_POB=•• x+• b• y= 2 b，

∴ x+ 4 y= 16．

过点 P作 PD⊥ x轴， PE⊥ y轴，垂足分别为点 D， E.

∴∠ PEO=∠ EOD=∠ ODP= 90°．

∴四边形 PEOD是矩形．∴∠ EPO= 90°．

∴∠ EPC=∠ DPB．∴△ PEC≌△ PDB.∴ PE= PD，即 x= y．

由解得

由△ PEC≌△ PDB，得 EC= DB，即﹣= b﹣.

解得 b=＞ 2符合题意．∴ P的坐标为（，）

（ 3）假设存在这样的点 Q，使得△ QCO，△ QOA和△ QAB中的任意两个三角形均相似．

∵∠ QAB=∠ AOQ+∠ AQO，∴∠ QAB＞∠ AOQ，∠ QAB＞∠ AQO．

∴要使△ QOA与△ QAB相似，只能∠ QAO=∠ BAQ= 90°，即 QA⊥ x轴．

∵ b＞ 2，∴ AB＞ OA.∴∠ Q 0 A＞∠ ABQ．

∴只能∠ AOQ=∠ AQB．此时∠ OQB= 90°，

由 QA⊥ x轴知 QA∥ y轴．

∴∠ COQ=∠ OQA．

∴要使△ QOA与△ OQC相似，只能∠ QCO= 90°或∠ OQC= 90°．

（ I）当∠ OCQ= 90°时，△ CQO≌△ QOA．∴ AQ= CO=．

由 AQ²= OA• AB得：（）²= b﹣ 1．解得 b= 8± 4．

∵ b＞ 2，∴ b= 8+ 4．∴点 Q的坐标是（ 1， 2+）．

（ II）当∠ OQC= 90°时，△ QCO∽△ QOA，∴=，即 OQ²= OC• AQ．

又 OQ 2= OA• OB，∴ OC• AQ= OA• OB．即• AQ= 1× b．

解得： AQ= 4，此时 b= 17＞ 2符合题意.∴点 Q的坐标是（ 1， 4）．

∴综上可知，存在点 Q（ 1， 2+）或 Q（ 1， 4），使得△ QCO，△ QOA和△ QAB中的任意两个三角形均相似．