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考点四：开放题型中的新概念

例 4、在平面直角坐标系 xOy中，对于任意两点 P ₁（ x ₁， y ₁）与 P ₂（ x ₂， y ₂）的“非常距离”，给出如下概念：

若| x ₁ - x ₂|≥| y ₁ - y ₂|，则点 P ₁与点 P ₂的“非常距离”为| x ₁ - x ₂|；

若| x ₁ - x ₂|＜| y ₁ - y ₂|，则点 P ₁与点 P ₂的“非常距离”为| y ₁ - y ₂|．

例如：点 P ₁（ 1， 2），点 P ₂（ 3， 5），因为| 1-3|＜| 2-5|，所以点 P ₁与点 P ₂的“非常距离”为| 2-5|= 3，也就是图 1中线段 P ₁ Q与线段 P ₂ Q长度的较大值（点 Q为垂直于 y轴的直线 P ₁ Q与垂直于 x轴的直线 P ₂ Q交点）．

（ 1）已知点 A（ -， 0），点 B为 y轴上的一个动点，

①若点 A与点 B的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B的坐标；

②直接写出点 A与点 B的“非常距离”的最小值；

（ 2）已知点 C是直线 y= x+ 3上的一个动点。

①如图 2，点 D的坐标是（ 0， 1），求点 C与点 D的“非常距离”的最小值及相应的点 C的坐标；

②如图 3， E是以原点 O为圆心， 1为半径的圆上的一个动点，求点 C与点 E的“非常距离”的最小值及相应的点 E与点 C的坐标．

解析：（ 1）①因为点 B为 y轴上的一个动点，所以设点 B的坐标为（ 0， y）．

因为|- -0|=≠ 2，所以| 0 - y|= 2，解得 y= 2或 y= -2。

所以点 B的坐标是（ 0， 2）或（ 0， -2）。

②点 A与点 B的“非常距离”的最小值为；

（ 2）①因为点 C是直线 y= x+ 3上的一个动点，

所以设点 C的坐标为（ x₀， x₀+ 3），所以 - x₀= x₀+ 2。此时 x₀=-。

所以点 C与点 D的“非常距离”的最小值为。此时 C（ -，）。

② E（ -，）．

- - x₀= x₀+ 3 -，

解得 x₀=-。

则点 C的坐标为（ -，），最小值为 1．

考点五：阅读材料题型中的新概念

例 5、平面上有两条直线 AB， CD相交于点 O，且∠ BOD= 150°（如图 4），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”:

（ 1）点 O的“距离坐标”为（ 0， 0）；

（ 2）在直线 CD上，且到直线 AB的距离为 p（ p＞ 0）的点的“距离坐标”为（ p， 0）；在直线 AB上，且到直线 CD的距离为 q（ q＞ 0）的点的“距离坐标”为（ 0， q）；

（ 3）到直线 AB， CD的距离分别为 p， q（ p＞ 0， q＞ 0）的点的“距离坐标”为（ p， q）．

设 M为此平面上的点，其“距离坐标”为（ m， n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：

（ 1）画出图形（保留画图痕迹）：

①满足 m= 1，且 n= 0的点 M的集合；

②满足 m= n的点 M的集合。

（ 2）若点 M在过点 O且与直线 CD垂直的直线 l上，求 m与 n所满足的表达式．（说明：图中 OI长为一个单位长。）

解析：（ 1）①画图如图 5所示：

点 M ₁和 M ₂为所求；

②画图如图 6所示：

直线 MN和直线 EF（ O除外）为所求；

（ 2）如图 7,过点 M作 MN⊥ AB于点 N。

因为 M的“距离坐标”为（ m， n），所以 OM= n， MN= m.

因为∠ BOD= 150°，直线 l⊥ CD，所以∠ MON= 150° -90°= 60°.

在 Rt△ MON中， sin 60°==.

即 m与 n所满足的表达式为 m= n．

自我检测：

1．请你规定一种适合任意非零实数 a， b的新运算“ a⊕ b”，使得下列算式成立：

1⊕ 2= 2⊕ 1= 3，（ -3）⊕（ -4）=（ -4）⊕（ -3）= -，（ -3）⊕ 5= 5⊕（ -3）= -，…

你规定的新运算 a⊕ b=（用 a， b的一个代数式表示）．

2．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（ x， y），若规定以下两种变换：

① f（ x， y）=（ y， x）．如 f（ 2， 3）=（ 3， 2）；

② g（ x， y）=（ - x， - y），如 g（ 2， 3）=（ -2， -3）．

按照以上变换有： f（ g（ 2， 3））= f（ -2， -3）=（ -3， -2），那么 g（ f（ -6， 7））等于（）

A．（ 7， 6） B．（ 7， -6） C．（ -7， 6） D．（ -7， -6）

参考答案：

1．．

提示：根据题意，得 1⊕ 2= 2⊕ 1= 3=，

（ -3）⊕（ -4）=（ -4）⊕（ -3）= -=，

（ -3）⊕ 5= 5⊕（ -3）= -=，

则 a⊕ b==．

2． C

提示：因为 f（ -6， 7）=（ 7， -6），

所以 g（ f（ -6， 7））= g（ 7， -6）=（ -7， 6）．