X型—的延展
AD是△ ABC的中线，将 BC边所在直线绕点 D顺时针旋转α角，交边 AB于点 M，交射线 AC于点 N，设 AM= xAB， AN= yAC（ x， y≠ 0）．
（ 1）如图 1，当△ ABC为等边三角形且α= 30°时证明：△ AMN∽△ DMA；
（ 2）如图 2，证明：
+
= 2；
（ 3）如图 3，当 G是 AD上任意一点时（点 G不与 A重合），过点 G的直线交边 AB于 M′，交射线 AC于点 N′，设 AG= nAD， AM′= x′ AB， AN′= y′ AC（ x′， y′≠ 0），猜想：
+
=
是否成立？并说明理由．
考点： 相似形综合题．
分析：（ 1）利用“两角法”证得两个三角形相似；
（ 2）如图 1，过点 C作 CF∥ AB交 MN于点 F，构建相似三角形：△ CFN∽△ AMN，利用该相似三角形的对应边成比例求得
．通过证△ CFD≌△ BMD得到 BM= CF，利用比例的性质和相关线段的代入得到
，即
；
（ 3）猜想：
+
=
成立．需要分类讨论：①如图乙，过 D作 MN∥ M'N '交 AB于 M，交 AC的延长线于 N．由平行线截线段成比例得到
，易求
，
，利用（ 2）的结果可以求得
；
②如图丙，当过点 D作 M 1 N 1∥ M'N '交 AB的延长线于 M 1，交 AC 1于 N 1，则同理可得．
解答：（ 1）证明：如图 1，在△ AMD中，∠ MAD= 30°，
∠ MDA= 60°
∴∠ AMD= 90°
在△ AMN中，∠ AMN= 90°，∠ MAN= 60°，
∴∠ AMN=∠ DMA= 90°，∠ MAN=∠ MDA，
∴△ AMN∽△ DMA；
（ 2）证明：如图甲，过点 C作 CF∥ AB交 MN于点 F，则△ CFN∽△ AMN
∴
．
易证△ CFD≌△ BMD，
∴ BM= CF，
∴
，
∴
，即
；
（ 3）猜想：
+
=
成立．理由如下：
①如图乙，过 D作 MN∥ M'N '交 AB于 M，交 AC的延长线于 N，
则
∴
，
即
，
由（ 2）知
∴
②如图丙，当过点 D作 M 1 N 1∥ M'N '交 AB的延长线于 M 1，交 AC 1于 N 1，则同理可得．
变式练习：
矩形纸片 ABCD中， AD= 12 cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠， AE是折痕。
（ 1）如图 1， P， Q分别为 AD， BC的中点，点 D的对应点 F在 PQ上，求 PF和 AE的长；
（ 2）如图 2，
，点 D的对应点 F在 PQ上，求 AE的长；
（ 3）如图 3，
，点 D的对应点 F在 pQ上，
①直接写出 AE的长（用含
的代数式表示）；
②当 n越来越大时， AE的长越来越接近于。
解答：
（ 1）∵ PQ是矩形 ABCD中 AD， BC的中点，
，
∴
，
∴ 
∴
，
∴
，
∴
（ 2）∵
，
∴
∴
作 FG⊥ CD于点 G，
∵
，
∴
，
∴
∽
∴
，
∵
∴
，
∴
（ 3）∵
，
∴
∴
同理△ AFP∽△ EFG
∴
∴
∴
当 n越来越大时， AE越来越接近于 12。
