同学们在解圆周角和圆心角有关问题时,由于对问题缺乏全面细致考虑,往往出现对问题的错解,下面分类列举几例,供同学们学习时参考
一、考虑不周,以偏概全致病
例 1已知⊙ O的半径是 6 cm,⊙ O的弦 AB= cm,则弦 AB所对的圆周角是().
A. 30° B. 60° C. 60°或 120° D. 30°或 150°
错解:如图 1,连接 OA, OB,过点 O作 OC⊥ AB于点 C.
易得 OC= 3.
所以∠ OAC= 30°.所以∠ AOC= 60°.所以∠ AOB= 120°.
所以 AB所对的圆周角是 60°.
故选 B.
诺诺的剖析:出现错解的原因是对问题考虑不周,以偏概全,只考虑到劣弧 AB所对的圆周角而未考虑优弧 AB所对的圆周角.因弦 AB所对的弧有两条,所以弦 AB所对的圆周角应为优弧所含的圆周角与劣弧所含的圆周角而成两解.
正解:因为弦 AB分成的两条弧为 120°与 240°,所以弦 AB所对的优弧上的圆周角为 60°,弦 AB所对的劣弧上的圆周角为 120°.
故选 C.
二、忽略了弦与弧的差别致病
例 2已知⊙ O中的弦 AB的长等于半径,求弦 AB所对的圆周角和圆心角的度数.
错解:如图 2,因为 AB= OA,所以△ OAB为等边三角形.
所以∠ AOB= 60°.所以∠ C= 30°.
所以 AB所对的圆心角为 60°,圆周角为 30°.
诺诺的剖析:错解中忽略了弦与弧的差别,同弧所对的圆周角相等,同弦所对的圆周角相等或互补,错解中漏掉了一个.同学们应加强位置意识的培养,克服思维定势.
正解:如图 3,因为 AB= OA= OB,所以△ AOB为等边三角形.
所以∠ AOB= 60°.所以∠ C= 30°.所以∠ D= 150°.
所以弦 AB所对的圆心角为 60°,所对的圆周角为 30°或 150°.
三、忽略分类讨论致病
例 3点 A, B, C在半径为 2㎝的⊙ O上,若 BC=㎝,求∠ A的度数.
错解:如图 4,连接 BO并延长交⊙ O于点 D,连接 CD,则 BD= 4㎝.
因为 BD是⊙ O的直径,所以∠ BCD= 90°.
在 Rt△ BCD中, CD=== 2,所以∠ D= 60°.
根据同弧上的圆周角相等可得∠ A= 60°.
诺诺的剖析:出现错误的原因是受思维定势的影响,只考虑点 A在弦 BC所对的优弧上的情况,而忽略了点 A还有可能在弦 BC所对的劣弧上.因此平时做题一定要细心,思考问题要全面,克服思维的片面性、单一性.
正解:当点 A在弦 BC所对的优弧上时,求解过程同前面的“错解”,得∠ A= 60°;
当点 A在弦 BC所对的劣弧上时,如图 5,由前面的方法,可得∠ D= 60°,即的度数是 120°,所以的度数是 360°- 120°= 240°.
所以∠ A=× 240°= 120°.
综上所述:∠ A的度数是 60°或 120°.