字词模式
句模式
段模式
系统设置
更多按钮
网址切换
保存状态
用户反馈
页面收藏
-AA+
切线证明的“左膀右臂”

直线与圆的位置关系是中考常考题型,经常遇到判断一条直线是圆的切线的题目,那么如何判断一条直线是否为圆的切线呢?常见方法有如下两种,归纳为 12个字:“连半径,证垂直”,“作垂直,证半径”.下面详细说明

左膀:“连半径,证垂直”

已知条件中若给出了直线和圆的公共点,但没有给出过这个点的半径,则连接公共点和圆心,然后根据“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来证明”

1、如图 1,已知 AB为⊙ O的直径,过点 B作⊙ O的切线 BC,连接 OC,弦 ADOC.求证: CD是⊙ O的切线.

分析:由已知条件可知点 D在⊙ O上,因此要证 Cd是⊙ O的切线,只需连接 OD,看 ODDC是否垂直即可.

证明:如图 2,连接 OD

因为 OCAD,所以∠ 1=∠ 3,∠ 2=∠ 4

因为 OAOD,所以∠ 1=∠ 2.所以∠ 3=∠ 4

因为 OBODOCOC

所以△ OBC≌△ ODC.所以∠ OBC=∠ ODC

因为 BC是⊙ O的切线,所以∠ OBC90º.所以∠ ODC90º.

所以 DC是⊙ O的切线.

右臂:“作垂直,证半径”

已知条件若没有给出了直线和圆的公共点,则过圆心向这条直线引垂线,然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明

3如图 3,两个同心圆,弦 ABCD相等, AB切小圆于点 E,那么 CD是小圆的切线吗?为什么?

分析:已知条件中没有告诉直线 CD与小圆 O有公共点,由圆心 O向直线 CD作垂直 OF,若能证明 OF与半径 OE相等,则可说明 CD是小圆的切线.

解: CD是小圆的切线,

理由如下:连接 OE,过点 OOFCD,垂足为点 F.

因为 AB切小圆于点 E,所以 OEAB.

在大圆中,

因为 AB= CD,所以 OF= OE.

所以 CD是小圆的切线.

自我检测:

1、如图 5,已知 AB是⊙ O的直径,点 E在⊙ O上,过点 E的直线 EFAB的延长线, ACEF,垂足为点 CAE平分∠ FAC.求证: CF是⊙ O的切线.

2、如图 6,△ ABC为等腰三角形, AB= ACO是底边 BC的中点,⊙ O与腰 AB相切于点 D,求证: AC与⊙ O相切.

参考答案:

1.证明:如图 7,连接 OE.

因为 AE平分∠ FAC

所以∠ CAE=∠ OAE.

因为 OA= OE,所以∠ OEA=∠ OAE.

所以∠ CAE=∠ OEA.所以 OEAC.

所以∠ OEF=∠ ACF.

因为 ACEF,所以∠ OEF=∠ ACF= 90°.

所以 OECF.

因为点 E在⊙ O上,所以 CF是⊙ O的切线.

2.证明:如图 8,连接 OD,过点 OOEAC于点 E,则∠ OEC= 90°.

因为 AB切⊙ OD,所以 ODAB.

所以∠ ODB= 90°.所以∠ ODB=∠ OEC.

因为 OBC的中点,所以 OB= OC.

因为 AB= AC,所以∠ B=∠ C.

所以△ OBD≌△ OCE.所以 OE= OD,即 OE是⊙ O的半径.

所以 AC与⊙ O相切.