直线与圆的位置关系是中考常考题型,经常遇到判断一条直线是圆的切线的题目,那么如何判断一条直线是否为圆的切线呢?常见方法有如下两种,归纳为 12个字:“连半径,证垂直”,“作垂直,证半径”.下面详细说明
左膀:“连半径,证垂直”
已知条件中若给出了直线和圆的公共点,但没有给出过这个点的半径,则连接公共点和圆心,然后根据“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来证明”
例 1、如图 1,已知 AB为⊙ O的直径,过点 B作⊙ O的切线 BC,连接 OC,弦 AD∥ OC.求证: CD是⊙ O的切线.
分析:由已知条件可知点 D在⊙ O上,因此要证 Cd是⊙ O的切线,只需连接 OD,看 OD与 DC是否垂直即可.
证明:如图 2,连接 OD.
因为 OC∥ AD,所以∠ 1=∠ 3,∠ 2=∠ 4.
因为 OA= OD,所以∠ 1=∠ 2.所以∠ 3=∠ 4.
因为 OB= OD, OC= OC,
所以△ OBC≌△ ODC.所以∠ OBC=∠ ODC.
因为 BC是⊙ O的切线,所以∠ OBC= 90º.所以∠ ODC= 90º.
所以 DC是⊙ O的切线.
右臂:“作垂直,证半径”
已知条件若没有给出了直线和圆的公共点,则过圆心向这条直线引垂线,然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明
例 3如图 3,两个同心圆,弦 AB, CD相等, AB切小圆于点 E,那么 CD是小圆的切线吗?为什么?
分析:已知条件中没有告诉直线 CD与小圆 O有公共点,由圆心 O向直线 CD作垂直 OF,若能证明 OF与半径 OE相等,则可说明 CD是小圆的切线.
解: CD是小圆的切线,
理由如下:连接 OE,过点 O作 OF⊥ CD,垂足为点 F.
因为 AB切小圆于点 E,所以 OE⊥ AB.
在大圆中,
因为 AB= CD,所以 OF= OE.
所以 CD是小圆的切线.
自我检测:
1、如图 5,已知 AB是⊙ O的直径,点 E在⊙ O上,过点 E的直线 EF与 AB的延长线, AC⊥ EF,垂足为点 C, AE平分∠ FAC.求证: CF是⊙ O的切线.
2、如图 6,△ ABC为等腰三角形, AB= AC, O是底边 BC的中点,⊙ O与腰 AB相切于点 D,求证: AC与⊙ O相切.
参考答案:
1.证明:如图 7,连接 OE.
因为 AE平分∠ FAC,
所以∠ CAE=∠ OAE.
因为 OA= OE,所以∠ OEA=∠ OAE.
所以∠ CAE=∠ OEA.所以 OE∥ AC.
所以∠ OEF=∠ ACF.
因为 AC⊥ EF,所以∠ OEF=∠ ACF= 90°.
所以 OE⊥ CF.
因为点 E在⊙ O上,所以 CF是⊙ O的切线.
2.证明:如图 8,连接 OD,过点 O作 OE⊥ AC于点 E,则∠ OEC= 90°.
因为 AB切⊙ O于 D,所以 OD⊥ AB.
所以∠ ODB= 90°.所以∠ ODB=∠ OEC.
因为 O是 BC的中点,所以 OB= OC.
因为 AB= AC,所以∠ B=∠ C.
所以△ OBD≌△ OCE.所以 OE= OD,即 OE是⊙ O的半径.
所以 AC与⊙ O相切.