二次函数的图象与性质错解现形记
二次函数是初中数学中的一个十分重要的内容,也是各地中考命题的一个热点内容,不少同学在学习时由于概念不清、考虑不周,遇到相关问题有时感到茫然,从而致使错误百出.为帮助同学们正确学好本部分内容,现将诸多误区一一“现形”
一、不理解二次函数的概念
例 1、已知 y=( m -4) x m 2-3 m -2+ 2 x -3是二次函数,则 m的值是___.
错解:根据题意,得 m 2 -3 m -2= 2,即 m 2 -3 m -4= 0.
解得 m= -1或 m= 4.
故填 -1, 4.
剖析:根据二次函数的概念,要使 y=( m -4) x m 2-3 m -2+ 2 x -3是二次函数, m不但应满足 m 2 -3 m -2= 2,而且还应满足 m -4≠ 0,两者缺一不可. 上述解法因忽略了隐含条件 m -4≠ 0而导致错误.
正解:根据题意,有
解得 m= -1.
故填 -1.
二、错判二次函数的图象
例 2、如图,在同一平面直角坐标系中,作出① y= 3 x 2,② y=
x 2,③ y= x 2的图象,则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是_____(只填序号即可)

错解:填②③①
剖析:出现错误的原因是对抛物线开口大小规律不理解,错误地认为︱ a︱越大,开口就越大. 其实︱ a︱越大,抛物线的开口越小,抛物线越接近于 y轴;︱ a︱越小,抛物线的开口越大,抛物线越远离 y轴.
正解:填①③②.
三、错用二次函数的性质
例 3、求二次函数 y=
x 2 -2 x -1的顶点坐标以及抛物线的对称轴.
错解:因为 y=
( x 2 -4 x) -1=
( x 2 -4 x+ 4) -2-1=
( x -2) 2 -3,
所以顶点坐标为( -2, -3),对称轴为 -2.
剖析:二次函数 y= a( x-h) 2+ k的顶点坐标为( h, k)不能记错成( - h, k),对称轴不能只写成 h,必须写成 x= h.
正解:由 y=
( x -2) 2 -3,
所以顶点坐标( 2, -3),对称轴为 x= 2.
四、没有掌握平移的规律
例 4、将二次函数 y= 2 x 2 -4 x+ 5的图象向___平移 1个单位长度,再向___平移 3个单位长度,便得到二次函数 y= 2 x 2的图象
错解:因为 y= 2 x 2 -4 x+ 1= 2( x -1) 2+ 3,所以抛物线 y= 2 x 2是 y= 2 x 2 -4 x+ 5先向右平移 1个单位,再向上平移 3个单位得到的.
剖析:错解混淆了图象的左右平移的规律,图象的平移也可以看做是抛物线顶点的移动
解:因为 y= 2 x 2 -4 x+ 1= 2( x -1) 2+ 3,
所以抛物线 y= 2 x 2是 y= 2 x 2 -4 x+ 5先向左平移 1个单位长度,再向上平移 3个单位长度得到的.
五、忽视二次函数的增减性的范围
例 5、已知点 A( -2, y 1), B( 1, y 2), C( 3, y 3)在函数 y= x 2+ c的图象上,则 y 1, y 2, y 3的大小关系是( )
A. y 1< y 2< y 3 B. y 1> y 2> y 3
C. y 1> y 3> y 2 D. y 3> y 1> y 2
错解:因为 -2< 1< 3,所以 y 1< y 2< y 3.
故选 A.
剖析:对于函数 y= x 2+ c的增减性应分 x> 0和 x< 0讨论,当 x< 0时, y随 x的增大而减小. 因为 -2< 1,所以 y 1> y 2,对于对称轴两侧的 x值,应根据它与对称轴的近远来比较函数值的大小. 因为︱ 3-0︱>︱ -2-0︱,所以 y 1< y 3,即 y 3> y 1> y 2
正解:故选 D.