“遇斜化直”解“双直角三角形”

来源：云笑杰时间： 2014-10-24标签：“遇斜化直”解“双直角三角形”

知识点睛：

所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形，解这类问题的基本思路是：运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线（斜三角形的高线）把它转化成为双直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识来求解双直角三角形原型图及其五种变形图如图 1所示（图形还可以旋转、翻折）.

解题指导：

解“双直角三角形”问题的关键是：适当添加辅助线，灵活转化图形，运用“遇斜化直”的数学思想构造双直角三角形，明确已知条件和所求问题是解直角三角形中的什么元素——角、边、线等等，用公共（或相等）的直角边沟通已知条件和未知元素之间的关系，也可设定未知数找出等量关系列出方程，就能使问题迎刃而解

例 1.如图 2，某海监船向正西方向航行，在 A处望见一艘正在作业渔船 D在南偏西 45°方向，海监船航行到 B处时望见渔船 D在南偏东 45°方向，又航行了半小时到达 C处，望见渔船 D在南偏东 60°方向，若海监船的速度为 50海里/时，则 A， B之间的距离为（取，结果精确到 0.1海里）．

分析：过点 D作 DE⊥ AB于点 E.设 DE= x，在 Rt△ CDE中表示出 CE，在 Rt△ BDE中表示出 BE，再由 CB= 25海里，可得出关于 x的方程，解出后即可计算 AB的长度．

解：∵∠ DBA=∠ DAB= 45°，∴△ DAB是等腰直角三角形，

如图 3，过点 D作 DE⊥ AB于点 E，则 DE= AB.

设 DE= x，则 AB= 2 x.

在 Rt△ CDE中，∠ DCE= 30°，则 CE= DE= x.

在 Rt△ BDE中，∠ DAE= 45°，则 DE= BE= x.

由题意，得 CB= CE﹣ BE= x﹣ x= 25.

解得 x=.

故 AB= 25（+ 1）= 67.5（海里）．

故答案填 67.5．

例 2. 如图 4，一条自西向东的观光大道 l上有 A， B两个景点， A， B相距 2 km，在 A处测得另一景点 C位于点 A的北偏东 60°方向，在 B处测得景点 C位于景点 B的北偏东 45°方向，求景点 C到观光大道 l的距离（结果精确到 0.1 km）．

分析：过点 C作 CD⊥ l于点 D，设 CD= xkm．先解直角△ ACD，得出 AD= CD= xkm，再解直角△ BCD，得出 BD= CD= xkm，然后根据 AD﹣ BD= AB，列出关于 x的方程，解方程即可．

解：如图 5，过点 C作 CD⊥ l于点 D，设 CD= xkm．

在△ ACD中，∵∠ ADC= 90°，∠ CAD= 30°，

∴ AD= CD= xkm．

在△ BCD中，∵∠ BDC= 90°，∠ CBD= 45°，

∴ BD= CD= xkm．

∵ AD﹣ BD= AB，∴ x﹣ x= 2，

∴ x=+ 1≈ 2.7（ km）．

故景点 C到观光大道 l的距离约为 2.7 km．

小小练兵场：

如图 6,为了测量山顶铁塔 AE的高,小明在 27 m高的楼 CD底部 D测得塔顶 A的仰角为 45°,在楼顶 C测得塔顶 A的仰角 36° 52′.已知山高 BE为 56 m,楼的底部 D与山脚在同一水平面上,求该铁塔的高 AE.（参考数据： sin 36° 52′≈ 0.60， tan 36° 52′≈ 0.75）

参考答案：

如图，过点 C作 CF⊥ AB于点 F．设塔高 AE= x，

由题意得， EF= BE﹣ CD= 56﹣ 27= 29 m， AF= AE+ EF=（ x+ 29），

在 Rt△ AFC中，∠ ACF= 36° 52′， AF=（ x+ 29），

则 CF=== x+，

在 Rt△ ABD中，∠ ADB= 45°， AB= x+ 56，

则 BD= AB= x+ 56，∵ CF= BD，∴ x+ 56= x+，解得： x= 52，

答：该铁塔的高 AE为 52米．