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帮你认识相似图形

知识解读

一、 认识相似多边形及其性质

1.定义

各角都相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.

诺诺小提示:这个定义有两个功能:一方面,如果两个多边形的角都对应相等,且边都对应成比例,就可以判定这两个多边形相似;另一方面,如果两个多边形相似,那么它的对应角一定相等,对应边一定成比例,这是相似多边形的本质特征,用它可以解决有关问题.

2.相似多边形的表示与相似比

1)相似多边形的表示方法:若五边形 ABCDE与五边形相似,记作五边形 ABCDE∽五边形

2)相似多边形对应边的比叫做相似比.

诺诺小提示:( 1)“多边形”的“多”字包括三个或三个以上的所有自然数,所以有了相似多边形的定义,就不必再重新定义“相似三角形”、“相似四边形”…….

2)同学们前面学习过图形的全等,其实是相似的一个特例,全等图形是相似比为 1的相似图形.

3.相似多边形的判定与性质

1)相似多边形的判定:①边数相同;②对应角相等;③对应边成比例.

诺诺小提示:判定两个多边形相似,这三个条件缺一不可.

2)相似多边形的性质:如果两个多边形相似,则这两个多边形的对应角相等,对应边成比例.

诺诺小提示:应用多边形的性质可以证明角相等,线段成比例等问题.

二、 认识相似三角形

三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.△ ABC与△相似记作△ ABC∽△

诺诺小提示:( 1)相似三角形的定义告诉我们,相似三角形的对应边的比叫做相似比.( 2)如果两个三角形的角对应相等,边对应成比例,那么这两个三角形相似.( 3)如果两个三角形相似,则它们的对应边成比例,对应角相等.

三、 掌握相似三角形的识别方法

1.相似三角形的识别方法主要有以下几种:

1)两个角对应相等的两个三角形相似;

2)三边对应成比例的两个三角形相似;

3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;

除此之外,我们还可以根据定义判定.

2.相似三角形判定方法的作用:

1)用来判定两个三角形相似;

2)用来说明角的相等、线段成比例;

3)为计算线段的长度与角的大小创造条件.

3.判定两个三角形相似的基本思路与借助图形寻找相似条件的方法:

1)思路:①先找对应角相等,可通过平行线或作出平行线来寻找;②若只找到一组对应角相等,可判断等角的两边是否对应成比例;③若找不到角相等,则判断三边是否对应成比例;④还可以通过相似三角形的传递性来判断,如若△ ABC∽△,△∽△,则△ ABC∽△

2)方法:①有平行线时,可围绕平行关系找相等的角;②有公共角、对顶角之类的等角,可通过互余、互补角等关系,寻找相等的角,或观察夹这个角的两边是否对应成比例;③有公共边的可通过旋转其图形,观察特征,来寻找相似判定条件;④在证明等积式与比例式时,经常要构造相似三角形.

诺诺小提示:判定两个三角形相似至少需要下列条件之一:①两个角对应相等;②三条边对应成比例;③两边对应成比例且夹角相等.理解时,可类比全等三角形的判定方法.在①中,只要满足两个角对应相等,这两个三角形就相似,解题时关键是寻找对应角,一般地,在解题过程中要特别注意“公共角”、“对顶角”、“同角的余角(或补角)”都是相等的.