“任意多边形的外角和等于 360°”,这个结论告诉同学们:尽管多边形的边数在不断变化,其内角和也在变化,但其外角和却是“稳坐钓鱼台”,始终保持 360°不变. 在解决与多边形的角有关的问题时，若能巧妙地把内角与外角结合起来，常能使问题简捷求解

解题指导：

一、求边数

例 1、一个多边形的每一个内角都等于 140°,那么这个多边形是_____边形.

分析: 根据多边形的每一个内角都与其相邻的外角互补，可由内角度数求出外角度数，从而借助多边形的外角和直接求得边数

解：因为多边形的每一个内角都是 140°，

所以每一个外角都是 180° -140°= 40°.

所以该多边形的边数为 360°÷ 40°= 9.

故填 9.

二、求角度

例 2、各角都相等的十八边形的每个内角的度数是______.

分析：本题可以运用多边形的内角和公式，先求得十八边形的内角和，再求每个内角的度数但由于各内角都相等的多边形的各外角也都相等，可根据相邻内角与外角的关系，将内角问题转化为外角问题，则解答会更方便

解：因为多边形的外角和等于 360°，

所以各角都相等的十八边形的每个外角的度数是 360°÷ 18= 20°.

所以该多边形的每个内角为 180° -20°= 160°.

故填 160°.

三、求周长

例 3、如图，小亮在广场上散步，他从点 A出发前进 10米，向右转 15°，再前进 10米，又向右转 15°，……这样一直走下去，当他第一次回到出发点 A时，一共走了_____米.

分析：由题意知，小亮散步的路线恰好为一个正多边形，他第一次回到出发点 A时，所走路程就是该多边形的周长. 由于该正多边形的边长为 10米，所以只要借助外角求出其边数，即可解决问题.

解：因为这个正多边形的每个外角都等于 15°，

所以正多边形的边数为 360°÷ 15°= 24.

所以小亮第一次回到出发点 A时，一共走了 10× 24= 240（米）.

故填 24.

四、求最值

例 4、在一个多边形的所有内角中,锐角的个数最多是().

A． 0 B． 1 C． 3 D． 5

分析: 可将多边形的内角为锐角的问题转化为外角是钝角的问题来解决

解：因为任意多边形的外角和为 360°,

所以一个多边形的所有外角中最多有 3个是钝角.

因为多边形的外角与其相邻的内角互补,

所以多边形的内角中最多有 3个锐角.

故选 C.

自我检测：

1、（ 2013年广东省湛江市中考试题）已知一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是（）.

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

2、（ 2013年四川省资阳市数学中考）一个正多边形的每个外角都等于 36°，那么它是（）.

A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形

3、（ 2013年四川省巴中市中考试题）若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是________边形．

4、（ 2013年广东省梅州市中考试题）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

参考答案：

1、 B

提示：根据多边形的内角和，得（ n− 2） 180°= 540°.

解得 n= 5，则这个多边形是五边形．

2、 C

提示：利用多边形的外角和 360°，除以外角的度数，即可求得边数．

即 360÷ 36= 10．

3、四

提示：设这个多边形的边数是 n.

根据题意，得（ n− 2）• 180°= 360°.解得 n= 4．

4、 A

提示：设这个多边形的边数是 n.

根据题意，得（ n− 2）• 180°＜ 360°，解得 n＜ 4．

因为 n为正整数，且 n≥ 3，所以 n= 3．