上篇文章,我们对旋转有了一点认识,觉得这个“旋转”不像想象中那么难,也不像想象中那么简单,今天再来对旋转的综合性的题来学习学习。
例 1、( 2011•达州)如图,△ ABC的边 BC在直线 m上, AC⊥ BC,且 AC= BC,△ DEF的边 FE也在直线 m上,边 DF与边 AC重合,且 DF= EF.
( 1)在图( 1)中,请你通过观察、思考,猜想并写出 AB与 AE所满足的数量关系和位置关系;(不要求证明)
( 2)将△ DEF沿直线 m向左平移到图( 2)的位置时, DE交 AC于点 G,连接 AE, BG.猜想△ BCG与△ ACE能否通过旋转重合?请证明你的猜想.
分析:( 1)根据题意, BC= AC= DF= EF,且 AC⊥ BC,可知△ ABC,△ DEF为等腰直角三角形,得出结论;
( 2)将△ BCG绕点 C顺时针旋转 90°后能与△ ACE重合.已知 BC= AC,由( 1)可知∠ DEF= 45°,可知△ CEG为等腰直角三角形,则 CG= CE,利用“ SAS”证明△ BCG≌△ ACE,得出结论.
解:( 1) AB= AE, AB⊥ AE;
( 2)将⊿ BCG绕点 C顺时针旋转 90度后能与⊿ ACE重合。
理由如下:
∵ AC⊥ BC, DF⊥ EF, B、 F、 C、 E共线,
∴∠ ACB=∠ ACE=∠ DFE= 90°,
又∵ AC= BC, DF= EF,
∴∠ DEF=∠ D= 45°,
在△ CEG中,
∵∠ ACE= 90°,
∴∠ CGE+∠ DEF= 90°,
∴∠ CGE=∠ DEF= 45°,
∴ CG= CE,
在△ BCG和△ ACE中,
∵,
∴△ BCG≌△ ACE( SAS),
∴将△ BCG绕点 C顺时针旋转 90°后能与△ ACE重合(或将△ ACE绕点 C逆时针旋转 90°后能与△ BCG重合).
例 2、( 2009•贺州)图中是一副三角板, 45°的三角板 Rt△ DEF的直角顶点 D恰好在 30°的三角板 Rt△ ABC斜边 AB的中点处,∠ A= 30°,∠ E= 45°,∠ EDF=∠ ACB= 90°, DE交 AC于点 G, GM⊥ AB于 M.
( 1)如图①,当 DF经过点 C时,作 CN⊥ AB于 N,求证: AM= DN;
( 2)如图②,当 DF∥ AC时, DF交 BC于 H,作 HN⊥ AB于 N,( 1)的结论仍然成立,请你说明理由.
分析:( 1)先证出△ BCD是等边三角形,再利用等腰三角形三线合一的定理,可得出 DN= BD,∠ ADG= 30°.那么△ ADG是等腰三角形,可得出 AM= AD,所以可证出 AM= DN;
( 2)先证△ ADG≌△ DBH,在此基础上再证△ AGM≌△ DHN,从而得出 AM= DN.
解:( 1)∵∠ A= 30°,∠ ACB= 90°,
D是 AB的中点.
∴ BC= BD,∠ B= 60°
∴△ BCD是等边三角形.
又∵ CN⊥ DB,
∴
∵∠ EDF= 90°,△ BCD是等边三角形.
∴∠ ADG= 30°,
而∠ A= 30°.∴ GA= GD.
∵ GM⊥ AB
∴
又∵ AD= DB
∴ AM= DN;
( 2)∵ DF∥ AC
∴∠ 1=∠ A= 30°,∠ AGD=∠ GDH= 90°,
∴∠ ADG= 60°.
∵∠ B= 60°, AD= DB,
∴△ ADG≌△ DBH
∴ AG= DH,
又∵∠ 1=∠ A, GM⊥ AB, HN⊥ AB,
∴△ AMG≌△ DNH.
∴ AM= DN.
自我测评:
如图, Rt△ ABC中,∠ C= 90°,将△ ABC沿 AB向下翻折后,再绕点 A按顺时针方向旋转α度
(α<∠ BAC),得到 Rt△ ADE,其中斜边 AE交 BC于点 F,直角边 DE分别交 AB, BC于点 G, H.
( 1)判断∠ CAF与∠ DAG是否相等,并说明理由.
( 2)求证:△ ACF≌△ ADG.
答案:( 1)解:∠ CAF=∠ DAG.
理由:∵ Rt△ ABC中,∠ C= 90°,将△ ABC沿 AB向下翻折后,再绕点 A按顺时针方向旋转α度(α<∠ BAC),得到 Rt△ ADE,
∴∠ BAC=∠ EAD,
∵∠ BAC=∠ CAF+∠ BAE,∠ EAD=∠ DAG+∠ BAE,
∴∠ CAF=∠ DAG;
( 2)证明:∵将△ ABC沿 AB向下翻折后,再绕点 A按顺时针方向旋转α度(α<∠ BAC), C得到 Rt△ ADE,
∴ AC= AD,∠ C=∠ D= 90,
在⊿ ACF和⊿ ADG中:
∴⊿ ACF≌⊿ ADG