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绕不过的旋转

上篇文章,我们对旋转有了一点认识,觉得这个“旋转”不像想象中那么难,也不像想象中那么简单,今天再来对旋转的综合性的题来学习学习。

1、( 2011•达州)如图,△ ABC的边 BC在直线 m上, ACBC,且 AC= BC,△ DEF的边 FE也在直线 m上,边 DF与边 AC重合,且 DF= EF

1)在图( 1)中,请你通过观察、思考,猜想并写出 ABAE所满足的数量关系和位置关系;(不要求证明)

2)将△ DEF沿直线 m向左平移到图( 2)的位置时, DEAC于点 G,连接 AEBG.猜想△ BCG与△ ACE能否通过旋转重合?请证明你的猜想.

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分析:( 1)根据题意, BC= AC= DF= EF,且 ACBC,可知△ ABC,△ DEF为等腰直角三角形,得出结论;

2)将△ BCG绕点 C顺时针旋转 90°后能与△ ACE重合.已知 BC= AC,由( 1)可知∠ DEF= 45°,可知△ CEG为等腰直角三角形,则 CG= CE,利用“ SAS”证明△ BCG≌△ ACE,得出结论.

解:( 1AB= AEABAE

2)将⊿ BCG绕点 C顺时针旋转 90度后能与⊿ ACE重合。

理由如下:

ACBCDFEFBFCE共线,

∴∠ ACB=∠ ACE=∠ DFE= 90°,

又∵ AC= BCDF= EF

∴∠ DEF=∠ D= 45°,

在△ CEG中,

∵∠ ACE= 90°,

∴∠ CGE+∠ DEF= 90°,

∴∠ CGE=∠ DEF= 45°,

CG= CE

在△ BCG和△ ACE中,

∴△ BCG≌△ ACESAS),

∴将△ BCG绕点 C顺时针旋转 90°后能与△ ACE重合(或将△ ACE绕点 C逆时针旋转 90°后能与△ BCG重合).

2、( 2009•贺州)图中是一副三角板, 45°的三角板 RtDEF的直角顶点 D恰好在 30°的三角板 RtABC斜边 AB的中点处,∠ A= 30°,∠ E= 45°,∠ EDF=∠ ACB= 90°, DEAC于点 GGMABM

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1)如图①,当 DF经过点 C时,作 CNABN,求证: AM= DN

2)如图②,当 DFAC时, DFBCH,作 HNABN,( 1)的结论仍然成立,请你说明理由.

分析:( 1)先证出△ BCD是等边三角形,再利用等腰三角形三线合一的定理,可得出 DN= BD,∠ ADG= 30°.那么△ ADG是等腰三角形,可得出 AM= AD,所以可证出 AM= DN

( 2)先证△ ADG≌△ DBH,在此基础上再证△ AGM≌△ DHN,从而得出 AM= DN

解:( 1)∵∠ A= 30°,∠ ACB= 90°,

DAB的中点.

BC= BD,∠ B= 60°

∴△ BCD是等边三角形.

又∵ CNDB

∵∠ EDF= 90°,△ BCD是等边三角形.

∴∠ ADG= 30°,

而∠ A= 30°.∴ GA= GD

GMAB

又∵ AD= DB

AM= DN

2)∵ DFAC

∴∠ 1=∠ A= 30°,∠ AGD=∠ GDH= 90°,

∴∠ ADG= 60°.

∵∠ B= 60°, AD= DB

∴△ ADG≌△ DBH

AG= DH

又∵∠ 1=∠ AGMABHNAB

∴△ AMG≌△ DNH

AM= DN

自我测评:

如图, RtABC中,∠ C= 90°,将△ ABC沿 AB向下翻折后,再绕点 A按顺时针方向旋转α度

(α<∠ BAC),得到 RtADE,其中斜边 AEBC于点 F,直角边 DE分别交 ABBC于点 GH

1)判断∠ CAF与∠ DAG是否相等,并说明理由.

2)求证:△ ACF≌△ ADG

答案:( 1)解:∠ CAF=∠ DAG

理由:∵ RtABC中,∠ C= 90°,将△ ABC沿 AB向下翻折后,再绕点 A按顺时针方向旋转α度(α<∠ BAC),得到 RtADE

∴∠ BAC=∠ EAD

∵∠ BAC=∠ CAF+∠ BAE,∠ EAD=∠ DAG+∠ BAE

∴∠ CAF=∠ DAG

2)证明:∵将△ ABC沿 AB向下翻折后,再绕点 A按顺时针方向旋转α度(α<∠ BAC), C得到 RtADE

AC= AD,∠ C=∠ D= 90,

在⊿ ACF和⊿ ADG中:

∴⊿ ACF≌⊿ ADG