知识点睛:
学习了二次根式之后,同学们会经常在二次根式的化简与计算中,遇到需要确定一个实数的整数部分与小数部分的问题,这类问题由于是与二次根式有关,从而让不少同学感到有一定的难度事实上,在确定一个实数的整数部分与小数部分时,首先应判断已知实数的取值范围,再确定其整数部分和小数部分 具体方法是:( 1)对于正实数,整数部分可直接取与其最接近的两个整数中最小的正整数,而此时的小数部分=原数-整数部分;( 2)对于负实数,整数部分则取与其最接近的两个整数中最小的负整数,而此时的小数部分=原数-整数部分.下面难过具体实例说明
解题指导:
一、单一型的二次根式
例 1、已知的整数部分是,小数部分是,求的值
分析:通过估算的整数部分和小数部分,然后即可得到可得其整数部分是 5,则小数部分是- 5,将其代入 a 2- b 2中,计算可得答案
解:因为<<,所以 a= 5, b=- 5.
所以 a 2- b 2=( a+ b)( a- b)=( 5-+ 5)= 10- 35.
二、多项式型的二次根式
例 2、已知 m=+ 1的小数部分为 b,求( m- 1)( b+ 2)的值.
分析:由于 2<< 3,从而可以确定 m的整数部分,进而得到 b的值,然后把 m与 b的值代入计算即可.
解:因为<<,所以 2<< 3.
所以 m的整数部分为 3.
所以 b= m- 3=+ 1- 3=- 2.
所以当 m=+ 1, b=- 2时,(+ 1- 1)( b+ 2)=( m- 1)(- 2+ 2)=×= 5.
三、双式型的二次根式
例 3、已知 9+与 9-的小数部分分别为 a和 b,求 ab- 3 a+ 4 b+ 8的值.
分析:先分别确定 9+与 9-的整数部分,进而可以得到各自的小数部分,再代入所给代数式求解即可
解:因为<<,即 3<< 4,即 9+的整数部分是 12,小数部分则为 9+- 12=- 3,即 a=- 3.
所以 9-的整数部分为 5,小数部分则为 9-- 5= 4-,即 b= 4-,
所以当 a=- 3, b= 4-时,
ab- 3 a+ 4 b+ 8= a( b- 3)+ 4 b+ 8=(- 3)( 4-- 3)+ 4( 4-)+ 8=(- 3)( 1-)+ 16- 4+ 8= 8.
自我测试:
1、( 2013年辽宁省沈阳市中考试题)如果 m=- 1,那么 m的取值范围是().
A. 0< m< 1 B. 1< m< 2 C. 2< m< 3 D. 3< m< 4
2、( 2013年山东省枣庄市中考试题)估计的值在( )
A. 2到 3之间 B. 3到 4之间 C. 4到 5之间 D. 5到 6之间
参考答案:
1、 B
提示:因为 4< 7< 9,所以<<所以 2<< 3,所以 1<- 1< 2.
即 m的取值范围是 1< m< 2.
2、 B
提示:因为 4与 9是 6最接近的两个完全平方数,因此在与之间,即是 2<< 3,运用不等式的性质,则 2+ 1<+ 1< 3+ 1,即是 3<+ 1< 4.