唐诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A点出发，走到河边饮马后，再到 B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？

这个数学问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天从军营 A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．

这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．

从 A出发向河岸引垂线，垂足为 D，在 AD的延长线上，取 A关于河岸的对称点 A&# 39;，连结 A&# 39; B，与河岸线相交于 C，则 C点就是饮马的地方，将军只要从 A出发，沿直线走到 C，饮马之后，再由 C沿直线走到 B，所走的路程就是最短的.

如果将军在河边的另外任一点 C&# 39;饮马，所走的路程就是 AC&# 39;+ C&# 39; B，但是, AC&# 39;+ C&# 39; B= A&# 39; C&# 39;+ C&# 39; B> A&# 39; B= A&# 39; C+ CB= AC+ CB．

可见，在 C点外任何一点 C&# 39;饮马，所走的路程都要远一些．

典型例题

例 1、（ 2009年荆门）如图、一次函数 y= kx+ b的图象与 x、 y轴分别交于点 A（ 2， 0）， B（ 0， 4）．

（ 1）求该函数的解析式；

（ 2） O为坐标原点，设 OA、 AB的中点分别为 C、 D， P为 OB上一动点，求 PC+ PD的最小值，并求取得最小值时 P点的坐标．

分析：（ 1）将点 A、 B的坐标代入 y= kx+ b并计算得 k= -2， b= 4．求出解析式为： y= -2 x+ 4；

（ 2）设点 C关于点 O的对称点为 C′，连接 C′ D交 OB于 P，则 PC= PC′， PC+ PD= PC′+ PD= C′ D，即 PC+ PD的最小值是 C′ D．连接 CD，在 Rt△ DCC′中，由勾股定理求得 C′ D的值，由 OP是△ C′ CD的中位线而求得点 P的坐标．

解：（ 1）将点 A、 B的坐标代入 y= kx+ b得：

0= 2 k+ b， 4= b，

∴ k= -2， b= 4，

∴解析式为： y= -2 x+ 4；

（ 2）设点 C关于点 O的对称点为 C′，连接 C′ D交 OB于 P′，连接 P′ C，则 PC= PC′，

∴ PC+ PD= PC′+ PD= C′ D，即 PC+ PD的最小值是 C′ D．

连接 CD，在 Rt△ DCC′中， C′ D=，即 PC′+ PD的最小值为

∵ OA、 AB的中点分别为 C、 D，

∴ CD是△ OBA的中位线，

∴ OP∥ CD， CD== 2

∵ C′ O= OC，

∴ OP是△ C′ CD的中位线，

∴ OP= 1

∴点 P的坐标为（ 0， 1）．

自我测评：

有一圆柱形玻璃杯，高 12厘米，底面周长 18厘米，在杯内壁离杯口 3厘米 A处有一滴蜜糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向，离桌面 3厘米的 B处时，突然发现了蜜糖。问至少要爬多少路才能到达蜜糖所在位置？

答案: