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中学趣味数学:多少只动物

说明: d:\360浏~1\360se6\USERDA~1\Temp\B2DE9C~1.JPG

这是久违的奎贝尔教授奎贝尔教授:“我又为你们想出一个问题在我饲养的动物中,除了两只以外所有的动物都是狗,除了两只以外,所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉,我总共养了多少只动物?你想出来了吗?

奎贝尔教授只养了三只动物:一只狗,一只猫和一只鹦鹉。除了两只以外所有的都是狗,除了两只以外所有的都是猫,除了两只以外所有的都是鹦鹉。

如果你领悟到“所有”这个词可以指仅仅一只动物的话,头脑中就有了这个问题的答案。最简单的情况一只狗,一只猫,一只鹦鹉,既是其解。然而,把这个问题用代数形式来表示也是一次很好的练习。

xyz分别为狗,猫,鹦鹉的只数, n为动物的总数,我们可以写出下列四个联立方程:

n= x+ 2

n= y+ 2

n= z+ 2

n= x+ y+ z

解此联立方程有许多标准方法。显然,根据前三个方程式,可得出 x= y= z由于 3 n= x+ y+ z+ 6减去第四个方程,得到 n= 3,因此 x+ 2= 3,所以 x= 1全部答案可由 x值求得。

由于动物只数通常是正整数(谁养的猫是用分数来表示只数的), 可以把奎贝尔教授的动物问题看作所谓刁番图问题的一个平凡例子。这是一个其方程解必须是整数的代数问题。一个刁番图方程有时无解,有时只有一个解,有时有 不止一个或个数有限的解,有时有无穷多个解。下面是一个难度稍大的刁番图问题,同样也与联立方程和三种不同的动物有关。

一头母牛价格 10元钱,一头猪价格 3元钱,一头羊价格 05元钱。一个农夫买了一百头牲口,每种至少买了一头,总共花了 100元钱,问每种牲口买了多少头?

x为母牛的头数, y为猪的头数, z为羊的头数,可以写下如下两个方程式:

10 x+ 3 y+ z÷ 2= 100

x+ y+ z= 100

把第一个方程中的各项都乘以 2消去分数,再与第二个方程相减以便消去 z,这样得到下列方程式:

19 x+ 5 y= 100

xy可能有那些整数值?一种解法是把系数最小的项放到方程的左边: 5 y= 10019 x,把两边都除以 5得到:

y=( 10019 x5

再把 10019 x除以 5,将余数(如果有的话)和除数 5写成分数的形式,结果为:

y= 203 x4 x÷ 5

显然,表达式 4 x÷ 5必须是整数,亦即 x必须是 5的倍数。 5的最小倍数既是其自身,由此得出 y的值为 1,将 xy的值带入任何一个原方程,可得 z等于 94如果 x为任何比 5更大的 5的倍数,则 y变为负数。所以,此题仅有一个解: 5头母牛,一头猪和 94头羊。你只要把这个问题中牲口的价钱改变一下,便可以学到许多初等刁番图分析的知识。例如,设母牛价钱为 4元钱,猪的价钱为 2元钱,羊的价钱为三分之一元钱,一个农夫准备花一百元钱买一百头牲口,并且每种牲口至少买一头,试问他每种牲口可以买多少头?关于这一问题,恰好有三种解。但是如果母牛价钱为 5元钱,猪的价钱为 2元钱,羊 05元钱呢?那就无解。

刁番图分析是数论的一大分支,其实际应用范围极广。有一个著名的刁番图问题,以费马最后定理而著称:设有方程 xn+ yn= zn,其中 n是大于 2的正整数,问此方程是否有整数解(如果 n= 2,则称此为毕达格拉斯三元数组,具有自 32+ 42= 52起始的无穷多组解)?这 是一个最著名的数论问题,已经由英国数学家安德鲁。威尔斯解决,他用于解决此问题的方法可以说是大大出乎人们的意料,他应用了一种叫做椭圆函数的理论,实 际上,他证明的并不是方程本身,而是在椭圆函数领域中另一个著名的猜想:谷山-志村猜想。由于椭圆函数的模形式与费马最后定理同构,所以,等于是从侧面攻破了这个 300多年的大难题。