知识点睛:
设一元二次方程
的两根为
,
,则两根与方程系数之间有如下关系:
,
.一元二次方程根与系数的关系又叫做韦达定理,其应用十分广泛.现选择几道典型试题,来说明如何应用一元二次方程根与系数的关系去解决问题.
解题指导:
一、直接应用
例 1、( 1)若方程
的两个实数根分别为 x 1、 x 2,则 x 1 x 2= .
( 2)设一元二次方程 7 x 2-
x- 5= 0的两个根分别是 x 1、 x 2,则下列等式中,正确的是( )
A.
B. x 1+ x 2=
C. x 1+ x 2=
D. x 1+ x 2=-
解析:直接应用一元二次方程根与系数的关系,即可解决问题
( 1)因为 x 1、 x 2是方程
的两个实数根,
所以 x 1 x 2=
= 1.
故填 1.
( 2)因为 x 1、 x 2是方程 7 x 2-
x- 5= 0的两个实数根,
所以 x 1+ x 2=
.
故选A.
二、逆向应用
例 2、关于 x的一元二次方程 x 2+ bx+ c= 0( a≠ 0)的两个实数根分别为 1和 2,则 b=______, c=______.
解析:因为关于 x的一元二次方程 x 2+ bx+ c= 0( a≠ 0)的两个实数根分别为 1和 2,所以 1+ 2= -b, 1× 2=c,所以b= -3,c= 2.
故填 -3,2.
三、变形应用
例 3、已知 x 1、 x 2是方程
的两实数根,则
的值为______.
解析:因为 x 1、 x 2是方程
的两实数根,
所以 x 1+ x 2= -6,
= 3.
所以
故填 10.
例 4、已知关于 x的一元二次方程 x 2+( m- 1) x- 2 m 2+ m= 0( m为实数)有两个实数根 x 1、 x 2.若
,求 m的值.
解析:因为 x 1+ x 2=-( m- 1), x 1· x 2=- 2 m 2+ m,
所以 x 1 2+ x 2 2=( x 1+ x 2) 2- 2 x 1 x 2= 2[-( m- 1)] 2- 2(- 2 m 2+ m)= 2,即 5 m 2- 4 m- 1= 0.
解得 m 1=
, m 2= 1.
自我检测:
1、已知关于 x的一元二次方程 x 2 - bx+ c= 0的两根分别为 x 1= 1, x 2= -2,则 b与 c的值分别为().
A. b= -1, c= 2 B. b= 1, c= -2 C. b= 1, c= 2 D. b= -1, c= -2
2、已知一元二次方程: x 2 -3 x -1= 0的两个根分别是 x 1、 x 2,则 x 1 2 x 2+ x 1 x 2 2的值为( )
A. -3 B. 3 C. -6 D. 6
参考答案:
1、 D
提示:因为关于 x的一元二次方程 x 2 - bx+ c= 0的两根分别为 x 1= 1, x 2= -2,
所以 x 1+ x 2= b= 1+( -2)= -1, x 1• x 2= c= 1×( -2)= -2.
所以 b= -1, c= -2.
2、 A
提示:因为一元二次方程 x 2 -3 x -1= 0的两个根分别是 x 1、 x 2,
所以 x 1+ x 2= 3, x 1• x 2= -1.
所以 x 1 2 x 2+ x 1 x 2 2= x 1 x 2•( x 1+ x 2)= -1× 3= -3.