知识点睛:
设一元二次方程
的两根为
，
，则两根与方程系数之间有如下关系：
，
．一元二次方程根与系数的关系又叫做韦达定理，其应用十分广泛．现选择几道典型试题，来说明如何应用一元二次方程根与系数的关系去解决问题．
解题指导：
一、直接应用
例 1、（ 1）若方程
的两个实数根分别为 x 1、 x 2，则 x 1 x 2= ．
（ 2）设一元二次方程 7 x 2－
x－ 5＝ 0的两个根分别是 x 1、 x 2，则下列等式中，正确的是（ ）
A．
B． x 1＋ x 2＝
C． x 1＋ x 2＝
D． x 1＋ x 2＝-
解析：直接应用一元二次方程根与系数的关系，即可解决问题
( 1)因为 x 1、 x 2是方程
的两个实数根，
所以 x 1 x 2=
= 1.
故填 1.
( 2)因为 x 1、 x 2是方程 7 x 2－ x－ 5＝ 0的两个实数根，
所以 x 1＋ x 2＝
.
故选Ａ．
二、逆向应用
例 2、关于 x的一元二次方程 x 2＋ bx＋ c＝ 0（ a≠ 0）的两个实数根分别为 1和 2，则 b＝______， c＝______．
解析：因为关于 x的一元二次方程 x 2＋ bx＋ c＝ 0（ a≠ 0）的两个实数根分别为 1和 2，所以 1+ 2＝ -ｂ， 1× 2＝ｃ，所以ｂ＝ -3，ｃ＝ 2．
故填 -3,2.
三、变形应用
例 3、已知 x 1、 x 2是方程
的两实数根，则
的值为______．
解析：因为 x 1、 x 2是方程
的两实数根，
所以 x 1+ x 2＝ -6，
＝ 3.
所以
故填 10.
例 4、已知关于 x的一元二次方程 x 2＋( m－ 1) x－ 2 m 2＋ m= 0（ m为实数）有两个实数根 x 1、 x 2．若
，求 m的值．
解析：因为 x 1＋ x 2=－( m－ 1), x 1· x 2=－ 2 m 2＋ m，
所以 x 1 2＋ x 2 2=( x 1＋ x 2) 2－ 2 x 1 x 2= 2[－( m－ 1)] 2－ 2(－ 2 m 2＋ m)= 2，即 5 m 2－ 4 m－ 1= 0.
解得 m 1= 
， m 2= 1．
自我检测：
1、已知关于 x的一元二次方程 x 2 - bx+ c= 0的两根分别为 x 1= 1， x 2= -2，则 b与 c的值分别为（）.
A． b= -1， c= 2 B． b= 1， c= -2 C． b= 1， c= 2 D． b= -1， c= -2
2、已知一元二次方程： x 2 -3 x -1= 0的两个根分别是 x 1、 x 2，则 x 1 2 x 2+ x 1 x 2 2的值为（ ）
A． -3 B． 3 C． -6 D． 6
参考答案：
1、 D
提示：因为关于 x的一元二次方程 x 2 - bx+ c= 0的两根分别为 x 1= 1， x 2= -2，
所以 x 1+ x 2= b= 1+（ -2）= -1， x 1• x 2= c= 1×（ -2）= -2.
所以 b= -1， c= -2．
2、 A
提示：因为一元二次方程 x 2 -3 x -1= 0的两个根分别是 x 1、 x 2，
所以 x 1+ x 2= 3， x 1• x 2= -1.
所以 x 1 2 x 2+ x 1 x 2 2= x 1 x 2•（ x 1+ x 2）= -1× 3= -3．
