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根与系数构成的解题桥梁—— 一元二次方程根与系数关系的应用

知识点睛:

设一元二次方程的两根为,则两根与方程系数之间有如下关系:.一元二次方程根与系数的关系又叫做韦达定理,其应用十分广泛.现选择几道典型试题,来说明如何应用一元二次方程根与系数的关系去解决问题.

解题指导:

一、直接应用

1、( 1)若方程的两个实数根分别为 x 1x 2,则 x 1 x 2= .

2)设一元二次方程 7 x 2 x50的两个根分别是 x 1x 2,则下列等式中,正确的是( )

A Bx 1x 2 Cx 1x 2 Dx 1x 2-

解析:直接应用一元二次方程根与系数的关系,即可解决问题

( 1)因为 x 1x 2是方程的两个实数根,

所以 x 1 x 2== 1.

故填 1.

( 2)因为 x 1x 2是方程 7 x 2 x50的两个实数根,

所以 x 1x 2.

故选A.

二、逆向应用

2、关于 x的一元二次方程 x 2bxc0a0)的两个实数根分别为 12,则 b=______, c=______.

解析:因为关于 x的一元二次方程 x 2bxc0a0)的两个实数根分别为 12,所以 1+ 2-b, 1× 2=c,所以b= -3,c= 2

故填 -3,2.

三、变形应用

3、已知 x 1x 2是方程的两实数根,则的值为______.

解析:因为 x 1x 2是方程的两实数根,

所以 x 1+ x 2-63.

所以

故填 10.

4、已知关于 x的一元二次方程 x 2+( m1) x2 m 2m= 0m为实数)有两个实数根 x 1x 2.若,求 m的值.

解析:因为 x 1x 2=-( m1), x 1· x 2=- 2 m 2m

所以 x 1 2x 2 2=( x 1x 2) 22 x 1 x 2= 2[-( m1)] 22(- 2 m 2m)= 2,即 5 m 24 m1= 0.

解得 m 1= m 2= 1

自我检测:

1、已知关于 x的一元二次方程 x 2 - bx+ c= 0的两根分别为 x 1= 1x 2= -2,则 bc的值分别为().

Ab= -1c= 2 Bb= 1c= -2 Cb= 1c= 2 Db= -1c= -2

2、已知一元二次方程: x 2 -3 x -1= 0的两个根分别是 x 1x 2,则 x 1 2 x 2+ x 1 x 2 2的值为( )

A-3 B3 C-6 D6

参考答案:

1D

提示:因为关于 x的一元二次方程 x 2 - bx+ c= 0的两根分别为 x 1= 1x 2= -2

所以 x 1+ x 2= b= 1+( -2)= -1x 1x 2= c= 1×( -2)= -2.

所以 b= -1c= -2

2A

提示:因为一元二次方程 x 2 -3 x -1= 0的两个根分别是 x 1x 2

所以 x 1+ x 2= 3x 1x 2= -1.

所以 x 1 2 x 2+ x 1 x 2 2= x 1 x 2x 1+ x 2)= -1× 3= -3