我国著名科学家钱学森说：“灵感，也就是人在科学或艺术创作中的高潮，突然出现的、瞬时即逝的短暂思维过程．”唯物论者也承认灵感，但它不是上帝的恩赐，而是人们在实践活动中逐步形成或培养出来的一种不同常人的高效率、大跨度创造性思维的表现．灵感是紧张的创造性活动和长期艰苦劳动的结果．
数学灵感是人脑对数学对象结构关系的一种突发性的领悟．在解答数学难题时，通常会遇到这样的情况：尽管从多角度、用各种方法去进行探索，但百思不得其解．可正在“山穷水尽疑无路”之际，灵感出现了，从而创造了“柳暗花明又一村”的美的境界．
灵感与创造思维、灵感与数学发现究竟有何联系？我们可看看下面几位数学家的数学灵感与数学发现的情况．
法国数学家笛卡儿，早就有把相互独立的代数与几何结合起来的愿望，经过长时期的思考，但未找到合适的方法． 1619年随军服务时他仍在思考． 11月 9日，在多瑙河畔的诺伊堡，他几天来整日沉迷在思考之中而不得其解，入睡后连作数梦，梦中迷迷糊糊地想到引入直角坐标系的方法．第二天，也即是 11月 10日清晨，醒后立即将梦中所得加以整理，终于创造了解析几何学，笛卡尔获得了成功，但他酝酿时间为 1617～ 1619年，约为两年的时间．
法国著名数学家庞加莱在谈到他发现富克斯函数的变换方法时回忆说：“ 1880年有一次我离开当时居住的卡昂去作一次由矿业学校主办的地质考察旅行．旅途的奔波使我忘掉了我的数学工作，抵达库特塞斯后，我们乘公共马车到各处去转转，正当我跨上踏板的瞬间，脑子里突然出现了一个想法，即我曾用来定义富克斯函数的诸变换跟非欧几何中的诸变换是一致的．”庞加莱回到住址后，马上把这一结果加以证明．这是在长时间紧张工作之后，思想放松时灵感的突然闪现，是经过了约一年时间的苦思之后才获得成功的．
被称为数学王子的高斯为证明某一算术定理，曾苦思冥想达两年之久，后来突然得到一个想法，使他获得成功．高斯回忆说：“终于在两天前我成功了……像闪电一样，谜一下解开了．我自己也说不清楚是什么导线把原先的知识和我成功的东西连接起来．”尽管解开这个谜的想法是突然来的，但高斯本人经过两年的艰苦努力才为这个成功的到来做好了准备．
由以上对三位数学家数学灵感的出现而导致数学发现的描述，可以看出这种在长时期持续劳动后的某时刻出现的“突然领悟”是一种非逻辑的高层次的创造活动，亦即灵感思维活动．
灵感是不能靠偶然的机遇、守株待兔式的消极等待可以得到的．必须是执著追求、锲而不舍、百折不挠，才能有成功的一天．所谓“触景生情”“灵机一动”“眉头一皱，计上心来”，都是经过长期坚持不懈地创造性劳动而“偶然得之”的．巴斯加说：“机遇只偏爱有准备的头脑．”恰恰道出了此中的真谛．
