知识点睛:
概念展示:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程.它的一般形式是 ax 2+ bx+ c= 0( a≠ 0),其中 ax 2叫做二次项, bx叫做一次项, c叫做常数项, a是二次项系数, b是一次项系数.牢记概念,深入理解,灵活运用就可以熟练地解决下列问题
解题指导:
一、辨别是否为一元二次方程
解题技巧:若一个方程是一元二次方程,则要具备以下三个条件:
⑴经过整理后是一个整式方程;
⑵只含有一个未知数;
⑶未知数的最高次数是 2.
这三个条件必须同时满足,缺一不可 且任何一个一元二次方程都不可缺少二次项,但可缺少一次项和常数项
例 1、判断下列方程,哪些是一元二次方程?
① x 3- x 2- 5= 0;②;③ x 2= 1;④ ax 2+ bx+ c= 0;⑤( a 2+ 1) x 2- ax+ 5= 0;⑥ x 2- 2 xy+ y 2= 1;⑦ x( x- 1)= x 2- 2;⑧ x 2= x.
解析:①中 x的最高次数是 3;②中分母中含有字母,是分式方程;④中二次项系数 a不能确定是否为 0;⑤中的二次项系数( a 2+ 1)不可能为 0;⑥含有两个未知数 x、 y;⑦中去括号、移项、合并同类项后是一元一次方程.
所以为一元二次方程的是③、⑤和⑧
二、找项和系数
解题技巧:将方程化为 ax 2+ bx+ c= 0( a≠ 0)的一般形式,通常将二次项化为正.找项和系数时一定要包括它前面的符号 当一元二次方程的一般形式中有缺项时,则其系数为 0.
例 2、请写出一元二次方程( 1- 2 x)( x+ 4)= 2 x 2+ 3中的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数.
解析:去括号,得 x+ 4- 2 x 2- 8 x= 2 x 2+ 3.
移项,得- 2 x 2- 2 x 2+ x- 8 x+ 4- 3= 0.
合并同类项,得- 4 x 2- 7 x+ 1= 0,即 4 x 2+ 7 x- 1= 0.
所以二次项为 4 x 2,一次项为 7 x,常数项为- 1,二次项系数为 4,一次项系数为 7.
三、求待定字母的值
解题技巧:本类问题要紧扣一元二次方程中的“未知数的最高次数是 2”构造方程,同时一定要注意一元二次方程的二次项系数不能为 0这个隐含条件.
例 3、若关于 x的方程是一元二次方程,求 m的值.
解析:根据题意,得 m 2- 2= 2,即 m 2= 4.
解得 m=± 2.
因为 m- 2≠ 0,即 m≠ 2.
所以 m的值为- 2.
自我检测:
1.下列方程中,为一元二次方程的是( )
A. 3( x+ 1) 2= 2( x- 1) B.
C. ax 2+ bx+ c= 0 D. x 2+ 2 x=( x+ 1)( x- 1)
2.若关于 x的方程是一元二次方程,则 m=.
3.指出一元二次方程 2 x 2+ 3 x= 1- x( x- 3)中的二次项、一次项系数和常数项.
参考答案:
1. A
2. m= 1
提示:根据题意,得 m 2+ 1= 2,即 m 2= 1.
解得 m=± 1.
因为 m+ 1≠ 0,即 m≠ -1.
所以 m的值为 1.
3.二次项是 3 x 2、一次项系数是 0,常数项是- 1.
提示:去括号,得 2 x 2+ 3 x= 1- x 2+ 3 x.
移项,得 2 x 2+ x 2+ 3 x- 3 x- 1= 0.
合并同类项,得 3 x 2- 1= 0.