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把握概念 灵活解题——利用一元二次方程的概念解决问题

知识点睛:

概念展示:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程.它的一般形式是 ax 2bxc= 0( a0),其中 ax 2叫做二次项, bx叫做一次项, c叫做常数项, a是二次项系数, b是一次项系数.牢记概念,深入理解,灵活运用就可以熟练地解决下列问题

解题指导:

一、辨别是否为一元二次方程

解题技巧:若一个方程是一元二次方程,则要具备以下三个条件:

⑴经过整理后是一个整式方程;

⑵只含有一个未知数;

⑶未知数的最高次数是 2.

这三个条件必须同时满足,缺一不可 且任何一个一元二次方程都不可缺少二次项,但可缺少一次项和常数项

1、判断下列方程,哪些是一元二次方程?

x 3x 25= 0;②;③ x 2= 1;④ ax 2bxc= 0;⑤( a 21) x 2ax5= 0;⑥ x 22 xyy 2= 1;⑦ x( x1)= x 22;⑧ x 2= x.

解析:①中 x的最高次数是 3;②中分母中含有字母,是分式方程;④中二次项系数 a不能确定是否为 0;⑤中的二次项系数( a 21)不可能为 0;⑥含有两个未知数 xy;⑦中去括号、移项、合并同类项后是一元一次方程.

所以为一元二次方程的是③、⑤和⑧

二、找项和系数

解题技巧:将方程化为 ax 2bxc= 0( a0)的一般形式,通常将二次项化为正.找项和系数时一定要包括它前面的符号 当一元二次方程的一般形式中有缺项时,则其系数为 0.

2、请写出一元二次方程( 12 x)( x4)= 2 x 23中的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数.

解析:去括号,得 x42 x 28 x= 2 x 23.

移项,得- 2 x 22 x 2x8 x43= 0.

合并同类项,得- 4 x 27 x1= 0,即 4 x 27 x1= 0.

所以二次项为 4 x 2,一次项为 7 x,常数项为- 1,二次项系数为 4,一次项系数为 7.

三、求待定字母的值

解题技巧:本类问题要紧扣一元二次方程中的“未知数的最高次数是 2”构造方程,同时一定要注意一元二次方程的二次项系数不能为 0这个隐含条件.

3、若关于 x的方程是一元二次方程,求 m的值.

解析:根据题意,得 m 22= 2,即 m 2= 4.

解得 m2.

因为 m20,即 m2.

所以 m的值为- 2.

自我检测:

1.下列方程中,为一元二次方程的是( )

A. 3( x1) 2= 2( x1) B.

C. ax 2bxc= 0 D. x 22 x=( x1)( x1)

2.若关于 x的方程是一元二次方程,则 m=.

3.指出一元二次方程 2 x 23 x= 1x( x3)中的二次项、一次项系数和常数项.

参考答案:

1. A

2. m= 1

提示:根据题意,得 m 2+ 1= 2,即 m 2= 1.

解得 m1.

因为 m10,即 m-1.

所以 m的值为 1.

3.二次项是 3 x 2、一次项系数是 0,常数项是- 1.

提示:去括号,得 2 x 23 x= 1x 23 x.

移项,得 2 x 2x 23 x3 x1= 0.

合并同类项,得 3 x 21= 0.