“无穷”是一个非常神奇的东西。一旦考虑到了无穷，就会出现各种不可思议的事情。本文列举几个最有趣的无穷悖论，大家来体验一次前所未有的“头脑风暴”吧。

希尔伯特旅馆悖论（ Hilbert&# 39; sparadoxofGrandHotel）

希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让 1号房间的客人搬到 2号房间， 2号房间搬到 3号房间…… n号房间搬到 n+ 1号房间，你就可以住进 1号房间了。”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。我让 1号房间的客人搬到 2号房间， 2号搬到 4号， 3号搬到 6号…… n号搬到 2 n号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。”

这就是德国大数学家大卫·希尔伯特（ DavidHilbert）提出的著名悖论。每个学过集合论的学生，都应该“拜访”过这个奇妙的希尔伯特旅馆。虽然人们把它叫做一个“悖论”，它在逻辑上却是完全正确的，只不过大大出乎我们的意料罢了。一扯上无限，有趣的事说也说不完。意大利数学家伽利略（ GalileoGalilei）在他的最后一本科学著作《两种新科学》（ TwoNewScience）中提到一个问题：正整数集合{ 1,2,3,4,……}和平方数集合{ 1,4,9,16,……}哪个大呢？一方面，正整数集合里包含了所有的平方数，前者显然比后者大；可另一方面，每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数，两个集合大小应该相等才对。伽利略比较早地使用了一一对应的思想，可惜没有沿着这个思路更进一步思考下去。最后他得出的结论就是，无限集是无法比较大小的。说到这里，我们不得不提到德国另一位伟大的数学家乔治·康托（ GeorgeCantor），他建立了集合论（ settheory），并系统地研究了集合（尤其是无穷集合）的大小，只不过这个大小不是简单地叫做“大小”了，而是叫势（ cardinality）。如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系，我们就说它们等势，这也是我们比较集合大小的方式。希尔伯特悖论形象地说明了正整数集合和正偶数集合是等势的。一切和自然数集合等势的集合都称为“可数集合”（ countableset），否则就叫做“不可数集合”（ uncountableset）。

托里拆利小号（ Torricelli‘ sHorn）

又到几何悖论时间了。上面这个小号状的图形有什么特点？

意大利数学家托里拆利（ EvangelistaTorricelli）将 y=中 x≥ 1的部分绕着 x轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形（注意，上图只显示了这个图形的一部分）。然后他算出了这个小号的一个十分牛 B的性质——它的表面积无穷大，可它的体积却是π。这明显有悖于人的直觉：体积有限的物体，表面积却可以是无限的！换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！

类似的二维几何悖论中，最著名的要属“科赫雪花”（ KochSnowflake）了。科赫雪花是一种经过无穷多次迭代生成的分形图形，下图就是前三次迭代的过程，迭代过程的极限便是科赫雪花了。它也有一个类似的性质：它的面积有限，周长却是无限的。用无限的周长包围了一块有限的面积，真是另类的“无中生有”啊！