解答与幂有关的计算、化简、求值、比较大小等问题时,有时会发现题目给的条件与同学们所学的幂的性质公式,在形象上大相径庭,从而感觉无从下手,思维受阻,这时要想打通思维,需要进行将条件进行变形,下面向大家介绍一些“变”的策略,供同学们学习时参考
一、底数不同变相同
例 1、计算
分析:算式中,三个幂的底数并不是都一样,可利用乘方的意义,将它们化为相同,然后即可用同底数幂的乘法和同底数幂的除法法则来计算
解:方法 1:原式=.
方法 2:原式=.
例 2、如果 2 m+ 3 n -3= 0,求 9 m× 27 n.
分析:因为 9 m× 27 n中的指数是未知的,且 9和 27都可以化成以 3为底的幂,所以先将 9 m× 27 n化成以 3为底的幂后再求值.
解: 9 m× 27 n= 3 2 m× 3 3 n= 3 2 m+ 3 n.
因为 2 m+ 3 n -3= 0,所以 2 m+ 3 m= 3.
所以 9 m× 27 n= 3 3= 27.
例 3、已知 a= 81 31, b= 27 41, c= 9 61,则 a、 b、 c的大小关系是().
(A) a> b> c
(B) a> c> b
(C) a< b< c
(D) b> c> a
分析:因为 81、 27和 9都可以化成以 3为底的幂,这样把 a、 b、 c都化成以 3为底的幂,只需要比较它们的指数即可.
解:因为 a= 81 31=( 3 4) 31= 3 124, b= 27 41=( 3 3) 41= 3 123, c= 9 61=( 3 2) 61= 3 122,
所以 a> c> b.
故选 A.
二、指数不同变相同
例 4、计算(- 0.125) 2013× 8 2014
分析:因为- 0.125× 8= -1,且 2014= 2013+ 1,所以考虑将原式中的指数变为相同指数幂,然后逆用积的乘方的性质求解.
解:原式=(- 0.125) 2013× 8 2013× 8=(- 0.125× 8) 2013× 8=- 8.
例 5、已知 a= 3 55, b= 4 44, c= 5 33,则 a、 b、 c的大小关系是()
(A) a< b< c
(B) c< b< a
(C) c< a< b
(D) a< c< b
分析:通过直接计算来比较,显然不行,仔细观察指数,都有因数 11,因此可逆用幂的乘方法则将他们的指数化为相同的数,然后通过比较它们的底数来比较其幂的大小.
解:因为 a= 3 55=( 3 5) 11= 243 11, b= 4 44=( 4 4) 11= 256 11, c= 5 33=( 5 3) 11= 125 11,而 125< 243< 256,所以 c< a< b.
故选 C.
三、指数和变幂的积
例 6、已知 a 3 m= 3, a 2 n= 2,求 a 6 m+ 4 n的值
分析:可把 a 3 m与 a 3 n看成一个整体,设法将求值式转化为只含有 a 3 m与 a 3 n的式子,再代入求值,逆用幂的运算法将其转化
解:原式= a 6 m· a 4 n=( a 3 m) 2·( a 2 n) 2= 3 2× 2 2= 36.