9.4数列的综合应用
考点一 等差数列与等比数列的综合应用
1.（ 2013.福建理， 9）已知等比数列
的公比为 q，记
则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列
为等差数列，公差为
B．数列为等比数列，公比为
C．数列
为等比数列，公比为
D．数列为等比数列，公比为
【解析】 C本题考查了等差及等比数列的判断、等差及等比数列的性质应用.
，
，
∴
，∴是等比数列，公比为，由此可知选项 A、 B错误；
∴是等比数列，公比为，由此可知选项 C正确，选项 D错误.
2.（ 2013江苏， 19）设是首项为
，公差为
的等差数列
，
是其前
项和．记
，
，其中
为实数．
（ 1）若
，且
成等比数列，证明：
（
）；
（ 2）若是等差数列，证明：．
【思路点拨】对于（ 1）用首项和公差来表示
，由成等比数列可以得出
的关系，用来表示，然后将左右两边都用来表示即证出 对于（ 2）因为是等差数列，所以由此式化简后，
的形式，可得出.
【参考答案】证：（ 1）若，则
，
，
．
当成等比数列，
，
即：
，得：
，又
，故
．
由此：
，
，
．
故：（）．
（ 2）
，
． (※)
若是等差数列，则型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：
，即
，而
≠ 0，
故．
经检验，当时是等差数列．
【本题点评】本题中反复运用等差、等比数列的概念及通项公式和前 n项和公式，在解题中要注意基本量的用法，并将题目中给出的式子尽量少的基本量表示出来，这样问题容易解决.
考点二求数列前 n项和的常用方法
1.（ 2013山东理， 20）
【思路点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及错位相减法求数列和的方法，对于（ 1）都用等差数列的基本量表示即可求出；对于（ 2）可先用
求出，再利用错位相减法求出数列的和
【参考答案】
【本题点评】解决等差数列和等比数列的一种常用方法是基本量法本题就考查了数列的最基本的方法，但是由于本题中的数列比较绕，所以在求解的过程中，要多考虑各个条件之间的关系(尤其是数列的通项与前ｎ项和之间的关系),最后可以观察出
的特点，就可以用错位相减法求出
2.（ 2013江西理， 17）正项数列{ a n}的前项和{ a n}满足：
（ 1）求数列{ a n}的通项公式 a n；
（ 2）令
，数列{ b n}的前项和为
。证明：对于任意的
，都有
【思路点拨】本题考查数列的通项、前 n项和，数列的递推，以及裂项相消法，不等式的证明.对于（ 1）关键是对进行因式分解，找出
的关系，对于（ 2）式中，对此式进行裂项再求和
【参考答案】
【本题点评】( 1)在进行对进行因式分解时，要注意> 0条件，而对于第（ 2）裂项后能不能求和来证明时，可对进行放缩再求和,这也是在证明与数列相关的不等式的常用方法
( 2)高考对数列求和侧重于考查裂项法、分组转化法以及错位相减法，因此遇到求和的问题时，要有意识地往这三种方法去思考.
考点三 数列与不等式、函数、向量的联系交汇
1.（ 2013新课标Ⅰ理， 12）设△ A n B n C n的三边长分别为 a n, b n, c n，△ A n B n C n的面积为 S n， n= 1,2,3,…
若 b 1＞ c 1， b 1＋ c 1＝ 2 a 1， a n＋ 1＝ a n， b n＋ 1＝， c n＋ 1＝，则( )
A、{ S n}为递减数列 B、{ S n}为递增数列
C、{ S 2 n－ 1}为递增数列，{ S 2 n}为递减数列
D、{ S 2 n－ 1}为递减数列，{ S 2 n}为递增数列
【解析】 B本题主要考查了归纳与推理，对学生的推理能力和逻辑思维能力要求很高.先确定三角形的一边长不变及周长不变，利用另两边最接近时面积最大等知识求解
2.（ 2013江苏， 23）设数列
： 1， - 2， - 2， 3， 3， 3， - 4， - 4， - 4， - 4，…，
即当
时，
记
对于
，定义集合
，，且
.
( 1)求集合
中元素的个数;
( 2)求集合
中元素的个数
【思路点拨】对于（ 1）式中，由于数量共有 11个，故可全部写出；对于（ 2）可通过对（ 1）中的规律发现
这个规律，运用数学归纳法证明此规律，然后求出中元素的个数
【参考答案】
【本题点评】对于数量较少时，我们可以将所的情况都写出来，然后根据所要的内容进行分析，找出规律，然后证明规律，从而求出主要考查了探究能力和运用数学归纳法的推理论证能力
3.（ 2013广东理， 19）设数列的前项和为已知
,
,
.
(Ⅰ) 求
的值；
(Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有
.
【思路点拨】对于(Ⅰ)式，可令
，代入可求出的；对于（ 2）可用
替换，然后两式相减，判定出数列是什么样的数列;对于(Ⅲ)可运用(Ⅱ)的结果,放缩后求和,进而得出结论
【参考答案】(Ⅰ) 依题意,
,又
,所以
；
(Ⅱ) 当
时,
,
两式相减得
整理得
,即
,又
故数列
是首项为
,公差为
的等差数列,
所以
,所以
.
(Ⅲ) 当时,
；当
时,
；
当
时,
,此时
综上,对一切正整数,有.
【本题点评】对于类似本题中求和类的不等式证明,如果通过放缩的方法进行证明的,一般有二种思路:一种是能够直接求和,求和之后再放缩;第二种是不能直接求和,需要放缩后才能求和,求和之后再进行放缩在后一种当中,一定要注意放缩的尺度,二是注意从哪一项开始放缩
4. （ 2013北京理， 20）已知{ a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n项的最大值记为 A n，第 n项之后各项
，
…的最小值记为 B n， d n= A n－ B n
(I)若{ a n}为 2， 1， 4， 3， 2， 1， 4， 3…，是一个周期为 4的数列(即对任意 n∈ N*，
)，写出 d 1， d 2， d 3， d 4的值；
(II)设 d为非负整数，证明： d n=－ d( n= 1,2,3…)的充分必要条件为{ a n}为公差为 d的等差数列；
(III)证明：若 a 1= 2， d n= 1( n= 1,2,3…)，则{ a n}的项只能是 1或 2，且有无穷多项为 1
【思路点拨】本题主要考查了以数列为载体的推理与证明问题，对于（ 1）可以依次写出即可，对于（ 2）可以从充分性与必要性入手；对于（ 3）可假设存在其他的项，来证明.
【参考答案】
【本题点评】对于本题来说，比较新颖，为了得到更多的分数，可以从简单的（ 1）入手观察规律，对于（ 2）可以证出充分再说，因为充分性是一个特殊的数列较好证明，对于（ 3）可假设存在大于 2的项，然后说明不存在的理由.
