7.3平面向量的数量积及其应用
考点一 平面向量的数量积
1.（ 2013湖北理， 6）已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【解析】 A先求出向量的坐标，再根据投影的定义进行计算。
由已知得，，因此在方向上的投影为，故选 A。
2.（ 2013江西理， 12）设，为单位向量。且，的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为 ____________
【思路点拨】本题主要考查向量的投影，向量的数量积运算
【答案】 【解析】向量在向量方向上的投影，
【本题点评】向量在方向上的投影为，不要记成；另外，注意运算不要出错
3.（ 2013新课标Ⅰ卷理科， 13）已知两个单位向量 a， b的夹角为 60°， c＝ ta＋( 1－ t) b，若 b· c= 0，则 t=_____.
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积，意在考查学生的运算能力本题中用 a， b来表示 b· c= 0即可求出.
【答案】 2【解析】===== 0，解得=.
【本题点评】解决由向量的数量积求参数的问题时，可以充分利用题目中的条件，将 b· c= 0用 a， b来表示.
4.（ 2013新课标Ⅱ卷理， 13）已知正方形 ABCD的边长为 2， E为 CD的中点，则 =_______
【思路点拨】本题主要考查了平面向量的数量积，属于基本题目,可以建立平面坐标系，用向量的坐标求出
【答案】 2【解析】
【本题点评】 本题由于是正方形，故通过建立坐标即可求出相应的数量积
考点二 平面向量的夹角、长度
1．（ 2013浙江理， 7）设△ ABC， P0是边 AB上一定点，满足 P0 B= AB，且对于 AB上任一点 P，恒有，则（ ）
A．∠ ABC= 90° B．∠ BAC= 90° C． AB= AC D． AC= BC
【解析】 D【解答】
2.（ 2013湖南卷， 6）已知是单位向量， 若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 A本小题考查的是单位向量与向量垂直及向量模的有关运算
方法一：（几何法）可以设，由于是单位向量，且，则，将向量与的起点放在同一位置 A，则由可知，，所以向量的终点在以向量的终点 D为圆心，以 1为半径的圆上，所以的取值范围是.
方法二：（代数法）由于是单位向量，且，由向量坐标的定义可设，由于，由向量的坐标运算可知，
所以，也就是以（ 1， 1）为圆心，以 1为半径的圆；而表示的是圆上的点到坐标原点的距离，所以的取值范围是
3.（ 2013山东理， 15）已知向量与的夹角为，且若且,则实数的值为____________
【思路点拨】 本题主要考查了向量的夹角、数量积及向量的垂直的条件等，在解决此题时充分利用条件，代入是解题的关键
【答案】 【解析】向量与的夹角为，且所以由得，，即，所以，即，解得.
【本题点评】本题考查的知识很全面，充分利用向量的夹角、数量积等知识，两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为 0,利用这个条件列方程或者方程组,进而确定参数的值.
4.（ 2013.重庆理， 10分）在平面上，，,若，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】 D本题考查了平面向量的加法、平面向量的数量积运算、平面向量的坐标表示及运算、平面向量的基本定理.方法一：∵，可知点构成平行四边形，又∵，可得平行四边形为矩形
以所以直线为坐标轴建立直角坐标系，设，点 O的坐标为，则点 P的坐标为，由得.
又，得，由基本不等式可得（当且仅当 a= x时等号成立），∴，整理得；
同理由，得，即有 ①．
又由，得，
整理得，即 ②
由①②知，所以．
而，所以，故选 D．
方法二：（基本思路：用向量表示条件中向量）
∵，
∴
∵，，即.
∵，∴
.
∵，∴，∴，
∴，即.
