2.3二次函数与幂函数
考点一 二次函数的图像和性质
1.( 2013.天津理, 8)已知函数 设关于 x的不等式的解集为 A,若,则实数 a的取值范围是()
(A) (B)
(C) (D)
【解析】 A本题考查了二次函数的对称性、函数单调性的应用、利用特殊思想解决问题.∵对任意都有,则当 x= 0时可得,
代入解析解得故可排除选项 C.
方法一:(排除法)又∵,代入解析式整理得,∵,,显然当,去掉绝对值解得,可排除选项 B、 D,故选 A.
方法二:∵,又因为,可知函数在区间为增函数,在、为减函数
当时,,欲使条件成立,并结合二次函数的对称性可知只需使对恒成立即可,即,解得.
当时,只需使对恒成立即可,即,解得.
综上可得.
2.( 2013辽宁理, 11)已知函数
表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,则
( )
( A)( B)
( C)( D)
【解析】 C;本题主要考查了二次函数图象和性质的应用,解决本题的关键是找到顶点的特征,顶点坐标为,顶点坐标,并且每个函数顶点都在另一个函数的图象上,图象如图,
A、 B分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以 A-B=
3.( 2013江苏, 13)在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为___________ .
【思路点拨】设出点 P点的坐标,用坐标表示之间的距离,然后求当最短距离为时,求出实数的所有值
【答案】 1或 【解析】设点,则,令,则且。若,则当时取最小值,令,解得(负值舍去);若时,当时取最小值,令,解得(负值舍去),综上,所以实数的所有值为 1或
【本题点评】本题的关键是运用 P点的坐标表示之间的距离,同时运用二次函数求最值的方法,此处要特别注意分类讨论问题
2.4指数与指数函数
考点一 指数函数的图像和性质
1、( 2013湖南卷, 5)函数的图像与函数的图像的交点个数为 ( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【解析】 B在同一坐标系中,作出函数与函数的图像,利用数形结合求解 由于当时,因此二次函数的最低点( 2, 1)在函数图象的下方,所以两函数图象有两个交点
2.5对数与对数函数
考点一 对数的运算
1.( 2013新课标Ⅱ卷理, 8)设 a= log 3 6, b= log 5 10, c= log 7 14,则()
( A) c> b> a( B) b> c> a( C) a> c> b (D) a> b> c
【解析】 D本小题主要考查对数的运算,对数函数的性质等基础知识,
2.( 2013山东理, 16)定义“正对数”:,现有四个命题:
①若,则
②若,则
③若,则
④若,则
其中的真命题有: ______________(写出所有真命题的编号)
【思路点拨】本题中主要考查了新定义“正对数”,要注意准确理解试题中给出的新定义的含义在解决本题时,若将这种新的定义看成一个分段函数来判断则不难解决
【参考答案】①③④ 解析:①当时,,,所以成立当时,,此时,即成立综上恒成立②当时,,所以不成立③讨论的取值,可知正确④讨论的取值,可知正确所以正确的命题为①③④
【本题点评】解决本题的关键在于先判断出哪部分的范围,再运用对数的性质进行推理,不难得出结论也可以利用特殊值进行检验,能够节省做题时间,这也是一种常用的方法
2.6函数的图像
考点一 函数的图像变换
1.( 2013北京理, 5)函数 f (x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象与 y= e x关于 y轴对称,则 f (x)=()
A. B. C. D.
【解析】 D本题主要考查了图象的变换性质,利用曲线关于 y轴对称的性质进行求解,关于 y轴对称的曲线为,将向左平移 1个单位长度得到
故选 D.另外本题也可以将选项进行逐个验证
考点二 函数图像的应用
1.( 2013.天津理, 7)函数的零点个数为( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【解析】 B本题考查了函数零点的判断、数形结合思想的运用.函数 f( x)的零点个数等于函数与函数的交点的个数,由如下图像可得其交点个数为 2,故函数 f( x)的零点有两个.
2.( 2013山东, 8)函数 y= xcosx+ sinx的图象大致为()
【解析】 D本题主要考查了图象的判定,这类题目一般依据两点:一是根据函数的性质,二是根据特殊点的函数值,采用排除法得到正确的选项.函数 y= xcosx+ sinx为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除 B, C.当时,,排除 A,故选 D.
3.( 2013四川理, 7)函数的图象大致是( )
【解析】 C根据特殊点的函数值,用排除法求解.此函数的定义域为,可排除当时,,可排除,当时,,当时,,所以此函数在上不单调函数,可排除故选
2.7函数与方程
考点一 函数的零点与方程的根
1.( 2013.重庆理, 6)若,则函数的两个零点分别位于区间( )
A、和内 B、和内
C、和内 D、和内
【解析】 A本题考查了函数解析式、函数零点的存在性定理.∵,∴,,,所以,,根据零点存在性定理可得函数的两个零点分别在( a, b)和( b, c)内.
2.( 2013.安徽理, 10)若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是( )
( A) 3( B) 4
( C) 5( D) 6
【解析】 A本题考查了极值的概念、导数的应用、分类讨论思想及数形结合思想的运用,意在考查考生灵活运用知识的能力.因为, 且的两根分别为,所以或,
当是极大值点时,,为极小值点,且,如图 1所示可知方程
有两个实根,有一个实根,故方程共有 3个不同实根;
当是极小值点时,,为极大值点,且,如图 2可知方程有两个实根,有一个实根,故方程共有 3个不同实根;
综合以上可知方程共有 3个不同实根.
考点二 函数的模型及应用
1.( 2013.福建理, 10题, 5分)设 S, T,是 R的两个非空子集,如果存在一个从 S到 T的函数满足:对任意当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )
A. B.
C. D.
【解析】 D本题考查了考生对新定义、新概念的理解能力、知识转化运用能力.根据题意可知,令,则 A选项正确;
令,则 B选项正确;
令,则 C选项正确;由排除法可得答案为 D.