开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的,它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题.这 类试题已成为近年中考的热点,重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性,其难度适中.根据其特征大致可分为:条件开放型、结论开放型、方法开放型和 编制开放型等四类
知识点睛:
一、解题策略和解法
解开放型的题目时,要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件,然后严格证明;同时,通常要结合以下数学思想方法:分类讨论,数形结合,分析综合,归纳猜想,构建数学模型等
解题指导:
二、中考考查方式呈现
方式一:条件开放型
条件开放型问题是指结论给定,条件未知或不全,需探求与结论相对应的条件.解这种开放型问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,逆向追索,逐步探求.
例 1、( 2012年浙江省义乌市中考试题)如图 1,在△ ABC中,点 D是 BC的中点,作射线 AD,在线段 AD及其延长线上分别取点 E、 F,连接 CE、 BF.添加一个条件,使得△ BDF≌△ CDE,并加以证明.你添加的是__________(不添加辅助线).
解题指导:由已知可证∠ ECD﹦∠ FBD,又∠ EDC﹦∠ FDB,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是: DE= DF(或 CE∥ BF或∠ ECD=∠ DBF或∠ DEC=∠ DFB等).
解:添加的条件是: DE= DF(或 CE∥ BF或∠ ECD=∠ DBF或∠ DEC=∠ DFB等).
温馨提示:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件。
方式二:结论开放型
结论开放型问题一般给出问题的条 件,让同学们根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性,这些问题都是结论开放型问题.这类问题的解题思路是:充分利用已知条件或图形特 征,进行猜想、类比、联想、归纳,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍.
例 2、( 2012年福建省宁德市中考试题)如图 2,点 E、 F分别是 AD上的两点,且 AB∥ CD, AB= CD, AF= DE.问:线段 CE、 BF有什么数量关系和位置关系?并加以证明.
解题指导: CE和 BF的关系是 CE= BF(数量关系), CE∥ BF(位置关系),理由是根据平行线性质求出∠ A=∠ D,根据 SAS证△ ABF≌△ DCE,推出 CE= BF,∠ AFB=∠ DEC即可.
解: CE和 BF的数量关系是 CE= BF,位置关系是 CE∥ BF.
理由:因为 AB∥ CD,所以∠ A=∠ D.
在△ ABF和△ DCE中,
所以△ ABF≌△ DCE (SAS).
所以 CE= BF,∠ AFB=∠ DEC.
所以 CE∥ BF,
即 CE和 BF的数量关系是 CE= BF,位置关系是 CE∥ BF.
温馨提示:本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质和判定,主要考查同学们运用性质进行推理的能力.
自我检测:
1、( 2012年江苏省盐城市中考试题)如图 3,在四边形 ABCD中,已知 AB∥ DC, AB= DC.在不添加任何辅助线的前提下,要想使该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是________________(填上你认为正确的一个答案即可).
2、( 1)( 2012年浙江省宁波市中考试题)写出一个比 4小的正无理数__________;
( 2)( 2012年江苏省连云港市中考试题)写一个比大的整数是______________.
参考答案:
1、答案不唯一,如:∠ A= 90°
提示:若添加的条件是∠ A= 90°.理由是:因为 AB∥ DC, AB= DC,所以四边形 ABCD是平行四边形.因为∠ A= 90°,所以平行四边形 ABCD是矩形.
2、( 1)答案不唯一,如:;
( 2)答案不唯一,如: 2.
提示:因为 1< 3< 4,所以
所以符合条件的数可以是 2.