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挑战等边三角形

等腰三角形这个大家庭中,还有许多特殊的成员,例如:等腰直角三角形,等边三角形,等等。今天我们来研究一下等边三角形的经典例题。当同学们看过文章后,肯定能够解决不少的疑问。

经典例题

1、( 2009•攀枝花)如图所示,在等边△ ABC中,点 DE分别在边 BCAB上,且 BD= AEADCE交于点 F,则∠ DFC的度数为()

分析:∠ DFC的度数与已知条件似乎没什么关系,但再仔细看看,能发现△ ABD≌△ CAE,得到∠ BAD=∠ ACE,再根据三角形内角和定理求得∠ DFC的度数.

解:

∵△ ABC为等边三角形

∴∠ BAC=∠ B=∠ BCA= 60°

AB= BC= AC

在△ ABD和△ CAE

BD= AE,∠ ABD=∠ CAEAB= AC

∴△ ABD≌△ CAE

∴∠ BAD=∠ ACE

又∵∠ BAD+∠ DAC=∠ BAC= 60°

∴∠ ACE+∠ DAC= 60

∵∠ ACE+∠ DAC+∠ AFC= 180°

∴∠ AFC= 120

∵∠ AFC+∠ DFC= 180

∴∠ DFC= 60°.

2、( 2006•天津)如图, ACB三点在同一条直线上,△ DAC和△ EBC都是等边三角形, AEBD分别与 CDCE交于点 MN,有如下结论:①△ ACE≌△ DCB;② CM= CN;③ AC= DN.其中正确结论是()

分析:根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行判断。

∵⊿ ADC和⊿ BCE是等边三角形

AC= CDCE= BC,∠ ACD=∠ ECB= 60°

∴∠ ACD+∠ DCE=∠ ECB+∠ DCE

∴∠ ACE=∠ DCB

∴△ ACE≌△ DCBSAS)(①正确)

∴∠ AEC=∠ DBC

∵∠ DCE+∠ ACD+∠ ECB= 180°,∠ ACD=∠ ECB= 60°

∴∠ DCE=∠ ECB= 60°

CE= BC,∠ DCE=∠ ECB= 60°,∠ AEC=∠ DBC

∴△ EMC≌△ BNCASA

CM= CN(②正确)

AC= DC在△ DNC中, DC所对的角为∠ DNC=∠ NCB+∠ NBC= 60°+∠ NBC60°,而 DN所对的角为 60°,根据三角形中等边对等角、大边对大角,小边对小角的规律,则 DCDN,即是 ACDN,所以③错误。

所以正确的结论是①②

3、( 2005•郴州)附加题:下图是由九个等边三角形组成的一个六边形,当最小的等边三角形边长为 2 cm时,这个六边形的周长为() cm

分析:每个三角形都是等边的,从其中一个三角形入手,比右下角的以 AB为边的三角形,设它的边长为 x,则等边三角形的边长依次为 xx+ x+ 2x+ 2x+ 2× 2x+ 2× 2x+ 3× 2

∴六边形周长是 2 x+ 2x+ 2)+ 2x+ 2× 2)+( x+ 3× 2)= 7 x+ 18,而最大的三角形的边长 AF等于 ABANOAHDIGITAL 10倍,所以可以求出 x,则可求得周长.

解:设 AB= x

∴等边三角形的边长依次为 xx+ x+ 2x+ 2x+ 2× 2x+ 2× 2x+ 3× 2

∴六边形周长是 2 x+ 2x+ 2)+ 2x+ 2× 2)+( x+ 3× 2)= 7 x+ 18

AF= 2 AB,即 x+ 6= 2 x

x= 6 cm

∴周长为 7 x+ 18= 60 cm

自我测评:

如图,在△ ABC中, DEBC上,且 BD= DE= AD= AE= EC,则∠ BAC的度数是()

答案: 120