我国古代的“勾三、股四、弦五”是古代数学的重大成就，在现实生活中有许多重要的应用。就让我们一起走入勾股定理，去探索、去发现它的奥秘吧！

同学们，你认为在这个定理中我们应该注意些什么呢？

（ 1）勾股定理揭示的是直角三角形__________的关系；

（ 2）勾股定理只适合于___________三角形；

（ 3）如果用 a、 b和 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有：，它还可以表述为 ____________。

（ 4）在使用勾股定理时，先要弄清______________边和_______________边。

典型例题：

例 1、如图，四个全等的直角三角形的拼图，你能验证勾股定理吗？试试看．

分析：根据题意，我们可在图中找等量关系，有中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．

解：根据题意，中间小正方形的面积

化简得

即证在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．

变式练习：

如图是美国总统 Garfield于 1896年给出的一种验证的办法，你能利用它证明吗？

请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）

例 2、已知直角三角形有两边分别为 3和 4，求第三边长。

分析：第三边是直角边还是斜边？从题意可知，都是可能的。所以分类讨论。

解：设第三边为 cm

当第三边是斜边时：

∴；

当 4是斜边时：

答：第三边的长为 5或 2.65.

温馨提示：分类讨论，考虑全面，做到不重不漏。

例 3、（ 2008•南宁）如图， Rt△ ABC中， AC= 8， BC= 6，∠ C= 90°，分别以 AB、 BC、 AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为多少？

分析：根据勾股定理可得 AB= 10,设以 AB、 AC、 BC为直径的三个半圆分别为，易得，

阴影部分的面积=，所以阴影部分的面积=

解：由以上分析可得：

阴影部分的面积=

温馨提示：让勾股定理把看似复杂的问题变的简单化。

变式练习：

（ 2011•随州）如图，在等腰直角三角形 ABC中，∠ ABC= 90°， D为 AC边上中点，过 D点作 DE丄 DF，交 AB于 E，交 BC于 F，若 AE= 4， FC= 3，求 EF长．

解：连结 BD，先证明⊿ AED≌⊿ BDF,得到 AE= BF= 4, BE= CF= 3,

在 Rt⊿ EDF中，易得 EF= 5.