垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的_____(简称_________)。
我们常用到的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
经典例题:
例 1、( 2012.无锡)如图 1,梯形 ABCD中, AD// BC, AD= 3, AB= 5, BC= 9, CD的垂直平分线交 BC于 E,连接 DE,则四边形 ABED的周长等于__________.
分析:四边形 ABED的周长= AD+ DE+ BE+ AB,其中有两个量是直接已知的,再利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”,得到 EC= ED,那么 BE+ ED= BE+ EC= BC,即可求出四边形的周长。
解:∵ CD的垂直平分线交 BC于 E
∴ EC= ED
∴四边形 ABED的周长= AB+ AD+ BE+ ED= AB+ AD+ BC= 5+ 3+ 9= 17
变式练习
( 1)在⊿ ABC中, BC= 10, BD= 8, DE⊥ BC于点 E, E为 BC的中点,则⊿ BCD的周长为()
答案: 26
例 2、( 2012.黄冈)如图 3,在⊿ ABC中, AB= AC,∠ A= 360, AB的垂直平分线交 AC于点 E,垂足为点 D,连接 BE,则∠ EBC的度数为_____________。
分析:由条件很容易得到∠ ABC=∠ C= 720,又因为 AB的垂直平分线交 AC于点 E,得到 AE= BE,即∠ A=∠ DBE= 360,∠ EBC=∠ ABC -∠ DBE= 360.
答案: 360.
变式练习
( 1)如图 4,在 Rt⊿ ABC中,∠ B= 900, ED是 AC的垂直平分线,交 AC于点 D,交 BC于点 E,已知∠ BAE= 100,则∠ C的度数为________.
答案: 400
例 3、牧马人在 A处放牧,现他准备马群赶回 B处的家中,但中途他必须让马到河边饮水一次(如图 5),他应该怎样选择饮水点 P,才能使所走的路程 PA+ PB最短?为什么?
分析:两点之间直线段最短,可通过作对称点解决。
解:过点 A作 AC⊥于点 D,连结 BC,与的交点即为所求。由作法可知,为 AC的垂直平分线,故 AP= CP.所以 PA+ PB= PC+ PB,当 B、 P、 C共线时, PC+ PB最短。
自我测评:在⊿ ABC中,∠ BAC= 1300,若 PM和 QN分别垂直平分 AB和 AC,
那么∠ PAQ=___________.
答案: 800