2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题,第二部分为非选择题
2. 考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
第一部分(共 50分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分)
1. 设全集为 R,函数的定义域为 M,则为( )
(A)[- 1,1] (B)(- 1,1)
(C) (D)
【答案】 D
【命题意图】本题考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合运算等知识 要注意避免出现及求补集时区间端点的取舍错误
【解析】由,得,即,所以.
2. 根据下列算法语句,当输入 x为 60时,输出 y的值为()
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
【答案】 C
【命题意图】本题考查算法程序,重点突出对条件语句的考查 是容易题
【解析】,所以执行,得.
3. 设 a, b为向量,则“”是“ a// b”的()
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】 C
【命题意图】考查向量的数量积、向量夹角、向量模长和充要条件等知识 是容易题
【解析】由知,向量 a、 b的夹角为或,所以向量 a、 b同向或反向,即 a∥ b.
4. 某单位有 840名职工,现采用系统抽样方法,抽取 42人做问卷调查,将 840人按 1, 2,…, 840随机编号,则抽取的 42人中,编号落入区间[ 481, 720]的人数为()
(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
【答案】 B
【命题意图】考查抽样方法中的系统抽样,系统抽样也叫等距抽样,抓住这个特点即可快速解题
【解析】 840人中按系统抽样抽取 42人,即每 20人中抽取 1人,编号在的人数有 240人,所以要从中抽取 12人.
5. 如图,在矩形区域 ABCD的 A, C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】 A
【命题意图】本题考查几何概型,是几何概型中的面积比问题,涉及矩形和扇形面积的计算,要仔细审题,不要求成该点有信号的概率
【解析】扇形 ADE和扇形 CBF都是半径为 1圆心角为,其面积为,矩形面积为 2,所以该点没有信号的概率为.
6. 设 z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是( )
(A)若, 则 (B)若, 则
(C)若, 则 (D)若, 则
【答案】 D
【命题意图】本题考查复数代数形式的减法、乘法运算及共轭复数、复数的模、复数相等等概念求解的关键是将复数设成代数形式,要求考生对复数的核心知识熟练运用
【解析】设若,则,,所以,故 A项正确;若,则,所以,故 B项正确;若,则,所以,故 C项正确;,在的条件下,不能保证,故 D项错误.
7. 设△ ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若,则△ ABC的形状为()
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定
【答案】 B
【命题意图】本题考查正弦定理和三角恒等变换,涉及正弦定理的变式、两角和的正弦公式、三角形内角和定理、诱导公式和特殊角的三角函数值等知识,属于常规题型
【解析】因为,所以由正弦定理得,所以,所以,所以,即,所以△ ABC是直角三角形.
8. 设函数,则当 x> 0时,表达式的展开式中常数项为( )
(A)- 20 (B) 20 (C)- 15 (D) 15
【答案】 A
【命题意图】本题考查分段函数和二项式定理,两个知识点都是高考考查热点,但两者结合在一起考查的时候不多,显得新颖别致
【解析】,所以
9. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300 m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位 m)的取值范围是()
(A)[ 15,20] (B)[ 12,25]
(C)[ 10,30] (D)[ 20,30]
【答案】 C
【命题意图】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法,对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求
【解析】如图△ ADE∽△ ABC,设矩形的另一边长为 y,则,所以,又,所以,即,解得.
10. 设[ x]表示不大于 x的最大整数,则对任意实数 x, y,有()
(A)[- x]=-[ x] (B)[ 2 x]= 2[ x]
(C)[ x+ y]≤[ x]+[ y] (D)[ x- y]≤[ x]-[ y]
【答案】 D
【命题意图】本题考查取整函数(即高斯函数),这个函数在最近的高考试题和模拟试题中经常见到他的身影,结合特殊值法,求解起来不会有太大难度
【解析】取,则,所以 A项错误;,所以 B项错误;再取,则,所以 C项错误.