2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第 II卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1至第 2页,第 II卷第 3至第 4页.全卷满分 150分,考试时间为 120分钟.
参考公式:
如果事件 A与 B互斥,那么
如果事件 A与 B相互独立,那么
第Ⅰ卷(选择题共 50分)
一.选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,共 50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
( 1)设是虚数单位,是复数的共轭复数,若,则=( )
( A)( B)
( C)( D)
【答案】 A
【解析】设,则,所以,即,根据复数相等的充要条件得,解得,故.
( 2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是()
( A)( B)
( C)( D)
【答案】 D
【解析】逐次运算的结果是,此时输出,故输出结果是.
( 3)在下列命题中,不是公理的是()
( A)平行于同一个平面的两个平面相互平行
( B)过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
( C)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
( D)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】 A
【解析】选项 B、 C、 D中的都是公理,是平面的三个基本性质.
( 4)“是函数在区间内单调递增”的( )
( A)充分不必要条件( B)必要不充分条件
( C)充分必要条件( D)既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】,若,则,此时在单调递增;若,则二次函数的对称轴,且时,此时在单调递减且恒成立,故在单调递增,故时,在单调递增,条件是充分的;反之若,则二次函数的对称轴,且在上,此时在单调递增,在单调递减,故函数不可能在单调递增条件是必要的
( 5)某班级有 50名学生,其中有 30名男生和 20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )
( A)这种抽样方法是一种分层抽样
( B)这种抽样方法是一种系统抽样
( C)这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
( D)该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
【答案】 C
【解析】分层抽样是按照比例的抽样,由于男女生人数不同,抽取的人数相同,不不是分层抽样;西铁抽样是按照一定规则的分段抽样,也不是系统抽样;五名男生的成绩的平均数为,方差为,五名女生成绩的平均数是,方差为,故选项 C中的结论正确;但该班所有男生成绩的平均数未必小于该班所有女生成绩的平均数,故选项 D中的结论不正确.
( 6)已知一元二次不等式的解集为,则的解集为( )
( A)( B)
( C)( D)
【答案】 D
【解析】根据已知可得不等式的解是,故,解得.
( 7)在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
( A)( B)
( C)( D)
【答案】 B
【解析】圆的直角坐标方程为,故垂直与极轴的两条切线的直角坐标方程为,其极坐标方程分别为和.
( 8)函数的图像如图所示,在区间上可找到
个不同的数使得则的取值范围是( )
( A)( B)
( C)( D)
【答案】 B
【解析】问题等价于直线与函数图象的交点个数,从图中可以看出交点个数可以,故的取值范围是.
( 9)在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是( )
( A)( B)
( C)( D)
【答案】 D
【解析】由,可得点在圆上且,在平面直角坐标系中设,,设,则,由此得,解得,,由于,所以,
即.
①或②或③或④
上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图所示,由直线方程,得点,所以区域的面积是.
( 10)若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是( )
( A) 3( B) 4
( C) 5( D) 6
【答案】 A
【解析】因为, 且的两根分别为,所以或,
当是极大值点时,,为极小值点,且,如图 1所示可知方程
有两个实根,有一个实根,故方程共有 3个不同实根;
当是极小值点时,,为极大值点,且,如图 2可知方程有两个实根,有一个实根,故方程共有 3个不同实根;
综合以上可知方程共有 3个不同实根.
2013普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题共 100分)
考生注意事项:
请用 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
二填空题:本大题共 5小题,每小题 5分,共 25分.把答案填在答题卡的相应位置
( 11)若的展开式中的系数为 7,则实数_________
【答案】
【解析】二项式展开式的通项为,令,可得,故,易得.
( 12)设的内角所对边的长分别为若,则则角_________
【答案】
【解析】由可得,又,所以可令,可得,故.
( 13)已知直线交抛物线于两点若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为___________
【答案】
【解析】法一:设直线与轴交与点,抛物线上要存在点,只要以为直径的圆与抛物线有交点即可,也就是使,即,所以或,因为,所以;
法二:设,由已知可令,,则,,因为,所以,可得,且,故.
( 14)如图,互不相同的点和分别在角 O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等设若则数列的通项公式是____________
【答案】
【解析】令,因为所有平行且,所以,当时,,
故,
,
……………………
以上各式累乘可得:,因为,所以.
( 15)如图,正方体的棱长为 1, P为 BC的中点, Q为线段上的动点,过点 A, P, Q的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①当时, S为四边形
②当时, S为等腰梯形
③当时, S与的交点 R满足
④当时, S为六边形
⑤当时, S的面积为
【答案】①②③⑤
【解析】对于①②,如图 1,因为正方体
的棱长为 1,当时,,这时过
三点的截面与正方体表面交与,
,且∥,截面为等腰梯形,
当时,过三点的截面与正方体表面的交点在棱上,截面为四边形,故①②正确;对于③④⑤,
如图 2,延长并延长交的延长线于点,连结交于,
取中点,作∥交于点,可得,∥
且,设,则,,
,当时,,可得,故③正确,
当时,为五边形,故④错误,当时,为为中点,
为梯形, ,,,的面积等于
,故⑤正确