20．（满分 12分）已知椭圆的一个顶点为 B，离心率，
直线 l交椭圆于 M、 N两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（ II）如果Δ BMN的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线的方程．
解：（ 1）由已知，且，即，
∴，解得，∴椭圆的方程标准为；……………… 5分
（ 2）椭圆右焦点 F的坐标为，
设线段 MN的中点为 Q，
由三角形重心的性质知，又，
∴，故得，
求得 Q的坐标为；…………………… 8分
设，则，
且，…………………… 10分
以上两式相减得，
，
故直线 MN的方程为，即．…………………… 12分
21．（满分 12分）设函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（ II）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
解：（ 1）函数的定义域为，……………………………………………… 1分
∵，……………………………………… 2分
∵，则使的的取值范围为，
故函数的单调递增区间为．…………………………………………… 4分
（ 2）方法 1：∵，
∴．………………………… 6分
令，
∵，且，
由．
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，…………………… 8分
故在区间内恰有两个相异实根 …… 10分
即解得：．
综上所述，的取值范围是．……………………………… 12分
方法 2：∵，
即，
令， ∵，且，
∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．…………………… 8分
∵，，，
又，
故在区间内恰有两个相异实根．
…………………………………… 10分
即．
综上所述，的取值范围是．…………………………… 12分
选做题：请考生在 22， 23， 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2 B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22．（满分 10分）《选修 4— 1：几何证明选讲》
如下图， AB、 CD是圆的两条平行弦， BE// AC， BE交 CD于 E、交圆于 F，过 A点的切线交 DC的延长线于 P， PC= ED= 1， PA= 2．
（ I）求 AC的长；
（ II）求证： BE＝ EF．
解：（ I），，…（ 2分）
，，…………（ 4分）
，…………（ 5分）
（ II），，而，…………（ 8分）
，．…………（ 10分）
23．（满分 10分）《选修 4-4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系中，曲线 C的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点
O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为.
（Ⅰ）求曲线 C的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线 C和曲线的交点为、，求.
解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．…… 5分
（Ⅱ）曲线可化为，表示圆心在，半径的圆，
则圆心到直线的距离为，所以．…… 10分
24．（满分 10分）《选修 4-5：不等式选讲》
已知函数．
（ I）证明：≤≤ 3；
（ II）求不等式≥的解集．
解：（ I）
当
所以……………… 5分
（ II）由（ I）可知，
当的解集为空集；
当；
当.
综上，不等式………… 10分
