二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分)
13.执行右侧的程序框图,输出的结果 S的值为________.
13.解析:由程序框图可知,这是求的程序在一个周期内,所以.
14. 已知,,__________
14. 解析:,所以,.
15.等差数列的前项和为,且,,则__________
15. 解析:在等差数列中,由,得,,解得所以.
16.如右图,设 A、 B、 C、 D为球 O上四点,若 AB、 AC、 AD两两互相垂直,且,,则 A、 D两点间的球面距离__________.
16.解析:因为 AB、 AC、 AD两两互相垂直,所以分别以 AB、 AC、 AD为棱构造一个长方体,在长方体的体对角线为球的直径,所以球的直径,所以球半径为,在正三角形中,,所以 A、 D两点间的球面距离为.
三、解答题:共 6小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(满分 12分)设数列的前项和为已知,,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记为数列的前项和,求;
解:(Ⅰ)由题意,,则当时,.
两式相减,得()…………………………………………… 2分
又因为,,,…………………………………………… 4分
所以数列是以首项为,公比为的等比数列,…………………… 5分
所以数列的通项公式是()……………………………… 6分
(Ⅱ)因为,
……………………………… 12分
18.(满分 12分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X表示.
(Ⅰ)如果 X= 8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
( II)如果 X= 9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,
求这两名同学的植树总棵数为 19的概率.
解:( 1)当 X= 8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是: 8, 8, 9, 10,
所以平均数为…………………………………… 3分
方差为……………………… 6分
(Ⅱ)记甲组四名同学为 A 1, A 2, A 3, A 4,他们植树的棵数依次为 9, 9, 11, 11;乙组四名同学为 B 1, B 2, B 3, B 4,他们植树的棵数依次为 9, 8, 9, 10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16个,它们是:
( A 1, B 1),( A 1, B 2),( A 1, B 3),( A 1, B 4),
( A 2, B 1),( A 2, B 2),( A 2, B 3),( A 2, B 4),
( A 3, B 1),( A 3, B 2),( A 3, B 3),( A 1, B 4),
( A 4, B 1),( A 4, B 2),( A 4, B 3),( A 4, B 4),
用 C表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C中的结果有 4个,它们是:( A 1, B 4),( A 2, B 4),( A 3, B 2),( A 4, B 2),故所求概率为…………………… 12分
19.(满分 12分)如右图,在正三棱柱 ABC— A 1 B 1 C 1中, AA 1= AB, D是 AC的中点.
(Ⅰ)求证: B 1 C//平面 A 1 BD;
(Ⅰ)求二面角 A— A 1 B— D的余弦值.
解:( 1)证明:连交于点,连.
则是的中点,
∵是的中点,∴
∵平面,平面,∴∥平面………………… 6分
( 2)法一:设,∵,∴,且,
作,连
∵平面⊥平面,∴平面,
∴∴就是二面角的平面角,
在中,,
在中,
,即二面角的余弦值是………… 12分
解法二:如图,建立空间直角坐标系
∴,,,
设平面的法向量是,则
由,取
则,,,.
记二面角的大小是,则,
即二面角的余弦值是………………………… 12分