高考压轴攻克——函数性质应用
【命题意图猜想】
1.在 2011年理科高考题，是以反比例函数和正弦函数为背景，考查函数图象和函数性质，作为最后一道压轴选择题，难度较大；而文科题通过更换函数，使得题目难度较低，适合文科特点.两道题目均体现了数形结合思想的应用在 2010年高考中，以对数函数和一次函数为背景考查函数的图象和性质，文理一道题目，同样也是压轴选择，能够准确画出函数的图象是解题的关键.在 2012年高考中，理科试题以一对互为反函数的函数为载体，考查最值问题，文科试题以复合函数为背景，考查学生善于发现函数的性质和对式子的操作变形的能力.纵观这三年的压轴选择，均以具体函数为背景，猜想 2013年高考题是否以抽象函数为背景，或者以新定义的题目是我们应该重点关注的.但是无论怎么命制，逃离不了函数性质和函数图象的结合，体现数形结合思想的应用另外，函数的零点问题考查转化划归思想和函数方程思也应是特别注意的一方面
2.从近几年的高考试题来看，图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质、方程、不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．预测 2013年高考仍将以识图、用图为主要考向，重点考查函数图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题．
3.从近几年的高考试题来看，函数的零点、方程根的问题是高考的热点，特别新课改的省份更是新点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质；主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．预测 2013年高考仍将以函数的零点、方程根的存在问题为主要考点，重点考查相应函数的图象与性质．
【最新考纲解读】
1．函数与方程
①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．
2．函数模型及其应用
①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用．
3.函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性．要求考生会利用单调性比较大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性．新课标对函数的奇偶性要求降低了很多，故应重点掌握其基本概念和奇偶函数的对称性．
4.函数的图象主要是在选择与填空题中考查用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题中给出图象据图象求解析式．
5．函数与方程、函数的应用主要考查：
( 1)零点与方程实数解的关系．
( 2)函数的概念、性质、图象和方法的综合问题．
( 3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题．
( 4)函数与解析几何知识的综合问题．
( 5)常见基本数学模型，如分段函数，增长率、幂、指、对等．[来源:学科网]
【回归课本整合】
1.函数的奇偶性
（ 1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称
（ 2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法；②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称
（ 3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数
③若为偶函数，则.
④若奇函数定义域中含有 0，则必有.
2. 函数的单调性
1.函数单调性的定义：
（ 1）如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内是减函数
（ 2）设函数在某区间内可导，若，则在 D内是增函数；若，则在 D内是减函数.
单调性的定义（ 1）的等价形式：
设，那么在上是增函数；
在上是减函数；
证明或判断函数单调性的方法：
( 1)定义法：设元作差变形判断符号给出结论其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；
( 2)复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数.解决问题的关键是区分好内外层函数，掌握常用基本函数的单调性；
（ 3）图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；
（ 4）导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性，是最常用的方法.
（ 5）利用常用结论判断：
①奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
③在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数;
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，
3. 函数的周期性
（ 1）类比“三角函数图像”得：
①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；
②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；
③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；
（ 2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为 2的周期函数。
4. 函数的对称性
①满足条件的函数的图象关于直线对称
②点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
③点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
④点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；
⑤点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为；
⑥曲线关于点的对称曲线的方程为；
⑦形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点；
⑧的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到
5. 常见的图象变换
①函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的
②函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的
③函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；
④函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；
⑤函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的
⑥函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的
⑦的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到
特殊函数图象:
( 1)函数:可由反比例函数图象平移、伸缩得到图 1示例.
①图象是双曲线,两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；
②对称中心是点.
( 2)函数：如图 2.
①图象类似“对号”，俗称对号函数定义域；
②函数的值域为；
③函数为奇函数，图象关于原点对称；
④增区间为,减区间为.
6.函数的零点
