1、在一个边长为 1分米的正三角形内任意放置 10个点。证明：至少有 2个点之间的距离不超过分米。

解析：

把正方形的边长平均 3等分，连接各分点得如图的图形， 9个小三角形相同边长为，放入 10个分点，至少有 2个点在同一个小三角形里，这 2个点的距离小于小三角形边长分米，所以至少有 2点的距离不超过分米。

2、右图中有多少个三角形？

解答： 110

解析：第一类，以 C为主顶点，共有个；

第二类，以 D为主顶点，共有个；

第三类，以 A为主顶点，共有个。

共有 75+ 30+ 5= 110个三角形。

3、由 0、 1、 3、 4、 7能组成多少个没有重复数字的( 1)四位偶数？( 2)被 3整除的四位数？

解答： 42； 42

解析：

（ 1）按个、千、百、十的顺序分类分步，四位偶数有： 1× 4× 3× 2+ 1× 3× 3× 2= 42（个）；

（ 2）四位数能被 3整除，其各位数字和要能被 3整除， 0， 1， 3， 4， 7除以 3的余数分别为 0， ANOAHDIGITAL 10， ANOAHDIGITAL 11， ANOAHDIGITAL 12， ANOAHDIGITAL 13，故和能被 ANOAHDIGITAL 14整除的四个数的余数必为 ANOAHDIGITAL 15， ANOAHDIGITAL 16， ANOAHDIGITAL 17， ANOAHDIGITAL 18，于是只能搭配出 ANOAHDIGITAL 19组： ANOAHDIGITAL 20、 ANOAHDIGITAL 21、 ANOAHDIGITAL 22、 ANOAHDIGITAL 23； ANOAHDIGITAL 24、 ANOAHDIGITAL 25、 ANOAHDIGITAL 26、 ANOAHDIGITAL 27；分别能组成和个四位数。能被 3整除的四位数共有 18+ 24= 42（个）。

4、在正方形的每条边上插入 3个分点将该边分成 4等份，任取其中的 4个点为顶点，共可以画出多少个四边形？其中有多少个是长方形（含正方形）？

解答： 459； 11

解析：

，。

能形成的真正的四边形共有： 495-36= 459个。

其中长方形有 3+ 3+ 3+ 2= 11个。

5、在左下图的 5× 5方格中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加上 1或减去 1，称为一次操作。经过若干次这样的操作后，左下图中的数字变成了右下图中的数字。问右下图中 A格内的数字是多少？

解答： 5

解析：将左图的 5× 5方格进行 1黑 1白相间染色，则任何一次操作后，所有黑格内的数字和与所有白格内的数字和的差保持不变。而左图中的这个差为 5，右图中的这个差为 A，于是 A的值为 5。

6、正方体有 8个顶点、 12个各条棱的中点、 6个各面的中心点和 1个正中心点。在这全部 27个点中，有很多的“三点共线”。问通过 27个点中的三个点的直线一共有多少条？

解答： 49

解析：

两端点都为顶点的共线三点组共有（ 8× 7）÷ 2= 28（个），两端点都是面的中心的共线三点组共有（ 6× 1）÷ 2= 3（个），两端点都是各棱中点的共线三点组共有（ 12× 3）÷ ANOAHDIGITAL 10= ANOAHDIGITAL 11（个），总共有 ANOAHDIGITAL 12+ ANOAHDIGITAL 13+ ANOAHDIGITAL 14= ANOAHDIGITAL 15（个）。

7、求这样三位数，它除以 11所得的余数等于它的三个数字的平方和。

解答： 100、 101

解析：设这个三位数为 xyz，由题意知余数≤ 10所以，。

从而，三位数可能为 100， 101， 102， 103， 110， 111， 112， 120， 121， 122， ANOAHDIGITAL 10， ANOAHDIGITAL 11， ANOAHDIGITAL 12， ANOAHDIGITAL 13， ANOAHDIGITAL 14， ANOAHDIGITAL 15， ANOAHDIGITAL 16， ANOAHDIGITAL 17， ANOAHDIGITAL 18， ANOAHDIGITAL 19， ANOAHDIGITAL 20。

通过验证知 100， 101符合要求。

8、四个人进行篮球训练，互相传接球，要求每个人接球后马上传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？

解答： 60

解析：设第 n次传球后，球回到甲手中的传球方式有种。前 n -1次传球，每次都有三种可能共计种传球方法。这种传球方式分为两类：

（ 1）第 n -1次恰好传到甲手中，这有种传法，但不符合要求。

（ 2）第 n -1次传球，球不在甲手中，第 n次再将球传给甲，有种传法。根据加法原理有种。

由于甲是发球者，所以。根据递推法知，，，，，所以经过 5次传球后，球仍回到甲手中的传球方式有 60种。