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三、解答题：本大题共 6小题,共 80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程

15．（本小题共 13分）

已知的三个内角，，所对的边分别是,，，,

.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的面积

解：（ I）解

…………………… 5分

（ II）由（ I）知，…………………… 7分

∴

∴…………………… 10分

∴

…………………… 13分

16.（本小题共 13分）

今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派 4名教师和 20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配是高一年级 10人，高二年级 6人，高三年级 4人.

（ I）若从 20名学生中选出 3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有 1人是高一年级学生的概率；

（ II）若将 4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望

解：（ I）设“他们中恰好有 1人是高一年级学生”为事件，则

答：若从选派的学生中任选 3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有 1人是高一年级学生的概率为……………………… 4分

（ II）解法 1：的所有取值为 0， 1， 2， 3， 4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为所以……………………… 6分

随机变量的分布列为：

； ;

;;

……………………… 11分

……………………… 12分

所以…………………… 13分

17.（本小题共 14分）

在直三棱柱中，= 2,点分别是 ,的中点，是棱上的动点

（ I）求证：平面；

(II)若//平面，试确定点的位置，并给出证明；

(III)求二面角的余弦值

解： (I)

证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，

∴………………………… 1分

,,

∴⊥平面……………………… 2分

平面

∴，即………………… 3分

又

∴平面………………………………… 4分

（ II）

当是棱的中点时，//平面…………………………… 5分

证明如下:

连结,取的中点 H，连接,

则为的中位线

∴∥，………………… 6分

∵由已知条件，为正方形

∴∥，

∵为的中点，

∴…………………… 7分

∴∥，且

∴四边形为平行四边形

∴∥

又 ∵…………………… 8分

∴//平面…………………… 9分

(III)

∵ 直三棱柱且

依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，…………………… 10分

,,,,

则，

设平面的法向量，

则,即，

令，有…………………… 12分

又平面的法向量为，

==，…………………… 13分

设二面角的平面角为，且为锐角

．…………………… 14分

18．（本小题共 13分）

已知函数．

（ I）当时，求函数的单调递减区间；

（ II）求函数的极值；

（ III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

解：（ I）依题意，函数的定义域为，

当时，，

…………………… 2分

由得，即

解得或，

又，

的单调递减区间为．…………………… 4分

（ II），

（ 1）时，恒成立

在上单调递增，无极值…………………… 6分

（ 2）时，由于

所以在上单调递增，在上单调递减，

从而．…………………… 9分

（ III）由（ II）问显然可知，

当时，在区间上为增函数，

在区间不可能恰有两个零点．…………………… 10分

当时，由（ II）问知，

又，为的一个零点．…………………… 11分

若在恰有两个零点，只需

即…………………… 13分

（注明：如有其它解法，酌情给分）

19.（本小题共 14分）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为．

（ I）求椭圆的方程；

（ II）设直线与椭圆相交于不同的两点．当时，求的取值范围．

解：（ I）依题意可设椭圆方程为，则离心率为

故，而，解得_， …………………… 4分

故所求椭圆的方程为…………………… 5分

（ II）设， P为弦 MN的中点，

由 得 _，

直线与椭圆相交，

，①………… 7分

，从而_，

（ 1）当时

(不满足题目条件)

∵，则

，即 ，②………………………… 9分

把②代入①得 ，解得 ，………………………… 10分

由②得，解得．故……………………… 11分

（ 2）当时

∵直线是平行于轴的一条直线，

∴………………………… 13分

综上，求得的取值范围是．………………………… 14分

20．（本小题共 13分）

在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，­为公差的等差数列．

（ I）求点的坐标；

（ II）设抛物线列,中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：；

（ III）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式．

解：（ I）………………………… 2分

………………………… 3分

（ II）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：………………………… 5分

把代入上式，得，

的方程为：………………………… 7分