三、解答题:本大题共 6小题,共 80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明
过程
15.（本小题满分 13分）已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的定义域；
（Ⅱ）若
，求
的值
15（本小题满分 13分）
（Ⅰ）由
……………… 1分
得 
……………… 3分
所以函数的定义域为 
…………… 4分
（Ⅱ）
= 
=
…… 10分
所以 
所以
…………… 13分
16. （本小题满分 14分）在长方体
中，
， 
为棱
上一点
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）是否存在一点，使得
∥平面
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由
16. （本小题满分 14）
（Ⅰ）证明：连接
∵是长方体，
∴
平面
，……………… 1分
又
平面
∴
……………… 2分
在长方形中，
∴
…………… 3分
又
……………… 4分
∴
平面
，……………… 5分
而
平面 ……………… 6分
∴ ……………… 7分
（Ⅱ）存在一点，使得∥平面，此时
……………… 8分
当时，为
中点
设交
于点
,则为中点
连接
,在三角形
中, ∥ ……………… 10分
平面,
平面 ……………… 13分
∴∥平面 ……………… 14分
17. （本小题满分 13分）某校从参加高三年级期中考试的学生中随机选取 40名学生，并统计了他们的政治成绩，这 40名学生的政治成绩全部在 40分至 100分之间，现将成绩分成以下 6段：
，据此绘制了如图所示的频率分布直方图
（Ⅰ）求成绩在
的学生人数；
（Ⅱ）从成绩大于等于 80分的学生中随机选 2名学生，求至少有 1名学生成绩在
的概率
解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为 1，所以成绩在区间的频率为
，………………… 3分
所以， 40名学生中成绩在区间的学生人数为
（人）
………………… 5分
（Ⅱ）设
表示事件“在成绩大于等于 80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间内”，
由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间内的学生有 4人，
记这四个人分别为
，
成绩在区间内的学生有 2人，………………… 7分
记这两个人分别为
，
则选取学生的所有可能结果为：
，
基本事件数为 15，………………… 9分
事件“至少一人成绩在区间之间”的可能结果为：
，
基本事件数为 9，………………… 11分
所以
………………… 13分
18. (本小题满分 13分)已知函数
（Ⅰ）若函数在
处取得极值
，求
的值；
（Ⅱ）当
时，讨论函数的单调性
解析：
……………………… 1分
（Ⅰ）因
在
处有极值，所以有
即
…… 3分
解得
…………………… 5分
经检验
，
符合题意
所以，当在处有极值时，，.
(Ⅱ)因
，所以
令
,得
,
…………………… 7分
① 当
时, 
在
,
有
；在
有
所以的增区间为,,减区间为. ………… 10分
② 当
时, 
在
,
有；在
有
所以得增区间为,减区间为,. ………… 13分
综上所述, 当时, 得增区间为,,减区间为;
当时, 得增区间为,减区间为,.
19.（本小题满分 14分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，线段
（
为坐标原点）的中点分别为
，上顶点为
，且
为等腰直角三角形
(Ⅰ) 求椭圆
的标准方程；
(Ⅱ) 过
点作直线交椭圆于
两点，使
，求直线的方程
（Ⅰ）由焦点坐标可得
又 为
的中点，为上顶点，
为等腰直角三角形
所以
…………………… 2分
所以
…………………… 4分
所以椭圆标准方程为 
………………… 5分
(Ⅱ)解法一：当直线与
轴垂直时，易知
不垂直；……… 6分
当直线与轴不垂直时，设直线方程为
，……… 7分
代入椭圆方程整理得
恒成立）……… 8分
设
，则
……… 9分
=
=
……… 11分
由，得
即
，解得 
……… 13分
所以满足条件的直线有两条，其方程为
……… 14分
解法二：由题意可知
，直线的斜率不为 0，……………… 6分
设直线的方程为
………………… 7分
代入椭圆方程整理得
恒成立）……… 8分
设
则
………………… 9分
=
=
=
=
由，得
即，解得 
所以满足条件的直线有两条，其方程为 ……… 14分
20.（本小题满分 13分）已知函数
同时满足：①函数有且只有一个零点；②在定义域内存在
，使得不等式
成立设数列
的前
项和
（
）
(Ⅰ) 求函数的表达式；
(Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 在各项均不为零的数列
中，所有满足
的整数的个数称为数列的变号数 令
，求数列的变号数
【解析】（Ⅰ）
有且只有一个零点，
解得
……………… 1分
当
时，函数
上递减
故存在，使得不等式成立……………… 2分
当
时，函数
上递增
故不存在，使得不等式成立……………… 3分
综上，得，
………………………… 4分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知
当
时，
……………… 5分
当
时，
……………………………… 7分
………………………… 8分
(Ⅲ)由题设得 
，……………… 9分
递增，……………………………… 10分
即
时，有且只有 1个变号数；
又
∴此处变号数有 2个；……………………………………………… 12分
综上得数列的变号数为 3.……………… 13分
