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分式运算常见错误例析

分式是在整式运算、多项式因式分解、一元一次方程的解法基础上学习的。分式的运算与整式的运算相比,运算步骤明显增多,符号更加复杂,解法更加灵活;因而更容易出现这样或那样的错误,为了引起同学的注意,特将分式解题中常见的错误归类例析如下,以便帮助大家学习这一部分内容.

1.分式概念不清

1、在下面的有理式中,只有一个分式的是()

A

B

C

D

错解 1:显然 B式可化为的形式,即,且 B中含有字母,所以选 B

错解 2:显然 AB都是整式, C经过同底数的幂相除化为也是整式,

故选 B

点拨:两种错误解法,一个病根,就是把 BC两式化简后用分式定义判定结果所致,判断一个代数式属于哪一类,不能因为,就把叫做分式,也不能能够化成而叫整式;

正解:因为不经过运算,就是的形式,且 B中含有字母,所以选 B

2、当时,下面分式的值为零的只有一个是 ( )

A

B

C

D

错解:因为将代入 B的分子,其分式的值为零,故选 B

点拨:错解认为“只要分子的值为零,”而忽略了“分母不为零”,事实上取时,分式本身已经没有意义.

正解:因为将分别代入 A,发现分母不为零,分子为零,

故选 A

3、当为何值时,分式的值为负?

错解:因为无论取何值,都是负数,而且当时,分母,所以,当时,分式的值为负。

点拨:错解只注意到分母不为零,而忽略了时,的特殊情况;

正解:因为除 0外,无论取什么数,都是负数,又需,则只需

所以,当不等于 01外,分式的值为负;

2.基本知识混乱不清

4、不改变分式的值,把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数;

错解:

点拨:错解的分子、分母所乘的不是同一个数,而是两个不同的数,虽然把各项系数化成了整数,但分式的值改变了;

正解:

5为何值时,分式无意义?

错解:因为

点拨:错解把公因式约取了,这等于把分子、分母同时除以一个等于零的整式,扩大了分母的取值范围,即放宽了分式成立的条件。

正解: ∵ ∴ 当时,分式无意义

6、不改变分式的值,使分子、分母的第一项系数是正号:

错解:因为同时改变分子、分母的项的负号,分式的值不变,∴

点拨:根据分式的基本性质可知,同时改变分式的分子、分母的符号,分式的值不变;而错解只改变了第一项符号,显然改变了分式的值;

正解:

3.符号上的错误

7、计算:

错解:原式=

点拨:错解死记硬背课本上“把各个分式化成整式部分与分式的和”的结论,不管余式的符号正、负与否,把整个整式部分与分式部分一律写成“”的形式,这主要对代数和的“和”的含义理解不够,“和”既有“加”又有“减”的含义。

正解:

原式=

4.违背运算顺序

例8、化简分式

错解:原式

点拨:同级运算应从左至右按顺序运算。

正解:原式

5.忽视分子整体性

例9、化简

错解:原式

点拨:由于第二个分式的分子是多项式,而分式的性质符号为负号时,要注意添加括号。

正解:原式

6.误用运算律

10、计算

错解:原式

点拨:乘法对加法有分配律,而除法对加法没有分配律,不能误用运算律。

6.“分式运算”与“解方程”相混淆

11、计算

错解:原式

点拨:由于把“分式运算”与“解方程”相混淆,我们经常容易出现分式运算时丢失分母,而在解分式方程时,不去分母而去通分,导致了运算的复杂化。

正解:原式

7.忽视“分母不为零”

12、当为何值时,分式的值零

错解:分子;所以当时,分式的值为零。

点拨:分式的值为零必须要满足分子为零,同时分式的分母要不等于零;本题我们也可以看作是解分式方程,而解分式方程必须要验根,即要保证各分母不为零,原分式方程有意义。

正解:只有当时,分式的值为零。

8.结果不是最简分式

13、计算:

错解:原式=

点拨:由于两个二次三项式分解因式都有难度,加之错解缺乏深入细致的分析,所以对公因式视而不看,致使该式计算的结果不是最简分式;

正解:原式