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细说“增根”

分式方程的增根是分式方程学习中的一个难点,下面结合相关例题细说增根如下,希望能给大家学习增根带来帮助.

1.增根的概念:

所谓增根就是分式方程去分母后得到的整式方程的根,同时又使原分式方程最简公分母为零的未知数的值.

2.增根产生的原因是:

增根是解分式方程式所产生的一种特殊情况.对于分式方程,当分式中的分母的值为零是没有意义,所以分式方程不允许未知数的值是是分母为零的值,即分式本身就隐含着分母不为零的条件,而当把分式方程去分母化成整式方程后,这种限制就取消了,也就是说方程中未知数允许取值的范围扩大了.若转化后的整式方程的根恰好是未知数的值允许以外的值,那么就会出现增根.所以分式方程必须验根.

3.分式方程验根的方法:

分式方程验根的方法有两种:一是将所求得的未知数的值代入原方程进行检验;二是将求得的未知数的值代入最简公分母中,看其值是否为零.

4.分式增根的应用:

因为分式的增根是解分式方程式所产生的一种特殊情况,所以我们可以利用这一性质进行相关试题的求解.

1、解分式方程时出现了增根,则增根一定是________ .

析解:因为增根就是分式方程去分母后得到的整式方程的根,同时又使原分式方程最简公分母为零的未知数的值.所以我们逆而思之,这增根必是最简公分母为零的值,即 xx -2)= 0,解得 x= 0x= 2,故增根一定是 02.

2、若关于x的方程有增根,求m的值.

析解: 去分母化为整式方程得,2x+1=m+x①,因为原方程有增根,则增根只能是x=3,把x=3代人方程①,得m=4.∴当m=4时,分式方程有增根.

3、若关于的方程无解,求的值

分析:原分式方程无解应包括两种情况:一是由原分式方程化成的整式方程无解;二是求出的整式方程的根都是原分式方程的增根.

解:去分母,化为整式方程得:

⑴若方程①无解,则原方程也无解

方程①化为,当,且时,方程①无解,故

⑵若方程①有解,而这个解恰好又是原方程的增根,这时原方程也无解.

所以,当方程①的解为 3时,,得,这时原方程也无解.

所以当时,原方程无解.

4、若方程有解,则的取值范围是___________

析解:去分母,整理,得,所以.

由原分式方程知是原方程的增根,即当时,原方程有增根,应舍去

所以,当时,原方程有解,解为.

5、当m为何值时,分式方程的解不小于1?

析解:去分母化为整式方程,得7x-2m+3=0,解得,x=

∵原方程的解不小于1,∴≥1,得m≥5.又因为 x= 2, x=- 3是方程的增根,应舍去,所以≠-3且≠2,得m≠-9且m≠.∴当m≥5且m≠时,分式方程的解不小于1.

牛刀小试

1.若方程有增根,则的值为 _________ .

2.如果方程有增根,则=________

3.已知关于 x的方程的解是正数,则 m的取值范围为____________

4.若关于的分式方程无解,则__________ .

5.已知关于 x的分式方程的解是非正数,则 a的取值范围是__________.

答案: 1. -1 2. 1 3. m> -6m-4 4. 1-2 5. a≤- 1a≠- 2