知识点睛:
两条直线被第三条直线所截,构成了八个角,一般称为“三线八角”.如图 1.其中没有公共顶点的角可分为三类,即同位角、内错角、同旁内角它们既是进一步学习直线平行的条件和性质的基础,又是以后学习三角形、相似形、圆等不可缺少的知识.那么怎样才能学好“三线八角”呢?
一、弄清截线与被截线
辨别“三线八角”的关键是分清哪一条直线截哪两条直线形成了哪些角,因此必须弄清截线与被截线.最简单的方法是:两个角公共边所在的直线是截线,共余两边所在直线是被截线.
如图 1,直线 AB、 CD分别与直线 EF相交(即直线 AB、 CD被第三条直线 EF所截)
同位角: 和分别在两交点左上方,是同位角; 和分别在两交点右上方,是同位角; 和分别在两交点左下方,是同位角;和分别在两交点右下方,是同位角.
内错角:(交点左下)和(交点右上)位置在内部左右交错,是内错角;(交点右下)和(交点左上)位置在内部左右交错,是内错角.
同旁内角: (交点左下)和(交点左上)是同旁内角; (交点右下)和(交点右上)是同旁内角.
两条直线被第三条直线所截,就第三条直线上的两个交点而言形成了四对同位角,两对内错角,两对同旁内角,俗称“三线八角”.为了便于记忆,同学们可仿照图 2用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).
二、掌握三类角的基本特征
1.同位角的基本特征:“同旁同侧”,即在两条直线(被截段)的同旁,第三条直线(截线)的同侧,如图 1中的∠ 1与∠ 5,∠ 2与∠ 6,∠ 3与∠ 7,∠ 4与∠ 8.这几对角的边所在的直线构成任意旋转的“ F”字形.
下面给出几种常见的同位角的边构成形如字母“ F”状的图形.如图 3中的图形,∠ M与∠ N为同位角.
2.内错角的基本特征:“内部两旁”,即在两条直线(被截线)的内部,第三条直线(截线)的两侧,如图 1中的∠ 3与∠ 5、∠ 4与∠ 6.两角的边所在直线构成任意旋转的“ Z”字形.
下面给出两种常见的内错角的边构成形如字母“ Z”状的图形.如图 4中的图形,,∠ M与∠ N为内错角.
3.同旁内角的基本特征:“内部同旁”,即在两条直线(被截线)的内部,第三条直线(截线)的同侧,如图 1中的∠ 3与∠ 6,∠ 4与∠ 5.两角的边所在直线构成任意旋转的“”形.
下面给出两种常见的同旁内角的边构成形如字母“ U”状的图形.如图 5中的图形,∠ M与∠ N为同旁内角.
温馨提示:①这三类角都是成对出现;②这三类角必须是两条直线被第三条直线所截形成的;③每对角的顶点都不相同.
三、注意图形的识别
1.基本图形的识别方法.识别基本图形中各种相关的角时,可直接根据各类角的基本特征进行识别判断.
2.复杂图形的识别方法.复杂图形是由简单图形组合而成的.在识别比较复杂的图形时,要善于将图形分解,即根据自己所思考的问题,只重视与所考察的角有关的直线或线段,而对那些与问题无关的直线或线段要视而不见,把复杂图形的识别转化为简单的基本图形的识别.
研究三线八角就是为了找出角间的相互关系,为判断两条被截直线是否平行及了解两直线平行有什么性质做准备.
自我检测:
如图 6所示,图中有哪些同位角、内错角、同旁内角?
参考答案:
解:分别把这三类角所对应的基本图形从图 6中分离出来,如图 7所示,由这些基本图形就很容易识别三类角了.
图①和图⑦是“ F”形,故∠ 2与∠ 5、是∠ 2与∠ BAD同位角;
图②和图⑥是“ Z”形,故∠ 1与∠ 4、∠ 1与∠ BAD是内错角;
图③④⑤⑧均是“ U”形,故∠ 2与∠ 3、∠ 1与∠ 3、∠ 1与∠ 2、∠ 2与∠ CAE分别是同旁内角.