三、归纳法
当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法
例 1将 100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下 5项工作叫做一次操作：
（ 1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；
（ 2）从左到右两位一节组成若干个两位数；
（ 3）划去这些两位数中的合数；
（ 4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；
（ 5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串.
问：经过 1999次操作，所得的数字串是什么？
解：第 1次操作得数字串 711131131737；
第 2次操作得数字串 11133173；
第 3次操作得数字串 111731；
第 4次操作得数字串 1173；
第 5次操作得数字串 1731；
第 6次操作得数字串 7311；
第 7次操作得数字串 3117；
第 8次操作得数字串 1173.
不难看出，后面以 4次为周期循环， 1999= 4× 499+ 3，所以第 1999次操作所得数字串与第 7次相同，是 3117.
例 2有 100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面.再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？
分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律列表如下：
设这一摞卡片的张数为 N，观察上表可知：
（ 1）当 N= 2 a（ a= 0， 1， 2， 3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第 2 a张；
（ 2）当 N= 2 a+ m（ m＜ 2 a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第 2 m张.
取 N= 100，因为 100= 26+ 36， 2× 36= 72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第 72张.
四、反证法
反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的
反证法的过程可简述为以下三个步骤：
1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；
2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.
运用反证法的关键在于导致矛盾在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的
例 3将某个 17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加.试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和 d+ a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和 b+ c≤ 9.将已知数的前两位数字 a， b与末两位数字 c， d去掉，所得的 13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质.照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾故和的数字中必有偶数
说明：显然结论对（ 4 k+ 1）位数也成立.但对其他位数的数不一定成立如 12+ 21， 506+ 605等.
例 4有一个魔术钱币机，当塞入 1枚 1分硬币时，退出 1枚 1角和 1枚 5分的硬币；当塞入 1枚 5分硬币时，退出 4枚 ANOAHDIGITAL 10角硬币；当塞入 ANOAHDIGITAL 11枚 ANOAHDIGITAL 12角硬币时，退出 ANOAHDIGITAL 13枚 ANOAHDIGITAL 14分硬币.小红由 ANOAHDIGITAL 15枚 ANOAHDIGITAL 16分硬币和 ANOAHDIGITAL 17枚 ANOAHDIGITAL 18分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中 ANOAHDIGITAL 19分的硬币刚好比 ANOAHDIGITAL 20角的硬币少 ANOAHDIGITAL 21枚？
解：开始只有 1枚 1分硬币，没有 1角的，所以开始时 1角的和 1分的总枚数为 0+ 1= 1，这是奇数.每使用一次该机器， 1分与 1角的总枚数记为 Q.下面考查 Q的奇偶性.
如果塞入 1枚 1分的硬币，那么 Q暂时减少 1，但我们取回了 1枚 1角的硬币（和 1枚 5分的硬币），所以总数 Q没有变化；如果再塞入 1枚 5分的硬币（得到 4枚 ANOAHDIGITAL 10角硬币），那么 Q增加 ANOAHDIGITAL 11，而其奇偶性不变；如果塞入 ANOAHDIGITAL 12枚 ANOAHDIGITAL 13角硬币，那么 Q增加 ANOAHDIGITAL 14，其奇偶性也不变.所以每使用一次机器， Q的奇偶性不变，因为开始时 Q为奇数，它将一直保持为奇数.
这样，我们就不可能得到 1分硬币的枚数刚好比 1角硬币数少 10的情况，因为如果我们有 P枚 1分硬币和（ P+ 10）枚 1角硬币，那么 1分和 1角硬币的总枚数为（ 2 P+ 10），这是一个偶数.矛盾
