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因式分解中的整体思想

“整体思想”是一种非常重要的数学思想.在整式的化简和求值过程中,若能把某部分看作一个“整体”来运用,会给解决问题带来很大方便.下面举例说明.

一、整体代入

1已知 - x+ 2 y= 5,那么 5( x -2 y) 2 -3 x+ 6 y -60的值为()

A80

B10

C210

D40

分析:由 - x+ 2 y= 5,可得 x -2 y= -5,然后把 x -2 y看作一个“整体”,直接把它的值代入到所求的代数式中,能迅速求出代数式的值.

解:因为 - x+ 2 y= 5,所以 x -2 y= -5

原式= 5( x -2 y) 2 -3( x -2 y) -60= 5×(- 5 23×(- 5)- 6080

故选 A

二、整体合并

2计算 2( a-b)+ 4( a+ b)+ 3( a+ b) -3( a-b).

分析:本题的常规解法是先去括号,再合并同类项,但这样做比较麻烦,若把 a-b, a+ b各看作一个“整体”先合并,再去括号,就方便、快捷多了.

解:原式=( 23)( a-b)+( 4+ 3)( a+ b)= -( a-b)+ 7( a+ b)= - a+ b+ 7 a+ 7 b6 a8 b

三、整体加减

3已知 3 x+ 7 y+ z= 3.154 x+ 10 y+ z= 4.2,求 x+ y+ z的值.

分析:所给的条件式中有三个未知数,无法求出各自的值后代入求值,因此可通过变换两式的方法整体求出代数式的值.

解:将 3 x+ 7 y+ z= 3.15的两边都乘以 3,得

9 x+ 21 y+ 3 z= 9.45.①

4 x+ 10 y+ z= 4.2的两边都乘以 2

8 x+ 20 y+ 2 z= 8.4.②

由①-②,得 x+ y+ z= 1.05

四、整体去括号

在含有多重括号的式子中,括号里的项是否变号,只与该项以及该项所在的各层括号前面的“-”号有关,而与其前面的“+”号无关.因此只要从外向里逐层确定影响该项的“-”的个数.当某项受“奇数”个“-”号影响时该项变号,受“偶数”个“-”号影响时,该项不变号.

4计算-{- b+[ 2 a-( 5 a4 b)]}.

分析:- b受一个“-”号影响,应变号; 2 a受一个“-”号影响,应变号; 5 a项受两个“-”号影响,不变号;- 4 b项受两个“-”号影响,不变号.

解:原式= b2 a5 a4 b3 a3 b

五、整体转化

5已知当 x= 2时,代数式 ax 5+ bx 3+ cx+ 3的值为 100,那么当 x= -2时,代数式 ax 5+ bx 3+ cx+ 3的值是多少?

分析:把代数式 ax 5+ bx 3+ cx+ 3的求值问题转化为奇次项的多项式求值问题,可使问题简易获解.

解:由已知,得 x= 2时, ax 5+ bx 3+ cx= 97,故当 x= -2时, ax 5+ bx 3+ cx= -97ax 5+ bx 3+ cx+ 3= -973= -94

六、整体代换

6已知第一个多项式是,第二个多项式比第一个多项式的 5倍少 4,第三个多项式比前两个多项式和的 2倍少 6,求这三个多项式和的

分析:因为第二、第三个多项式都与第一个多项式有关,故可设第一个多项式为 A,则第二、第三个多项式分别为 5 A42A+( 5 A4)]- 6

解:由分析知,这三个多项式的和的