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“数学猜想”为创新思维起航——归纳猜想型命题剖析

英国著名物理学家牛顿说过:没有大胆而放肆的猜想,就不可能有伟大的发现.数学教育家 G·波利亚也指出:要成为一个好的数学家……你必须首先是一个好的猜想家.这两句至理名言道出了猜想的重要性.令人欣慰的是最近几年中考命题在这方面进行了有益而大胆的探索改革,为推动素质教育,培养学生创新能力,指导教学改革起到了良好的导向作用.

所谓“归纳猜想”就是当一个问题涉及到相当多的乃至无穷多的情形时,可从问题的简单情形或特殊情形入手,通过对简单情形或特殊情形的试验,从中发现一般规律,或作出某种猜想,从而找到解决问题的途径或方法.下面举例说明.

1关于的方程:的解是的解是的解是;……( 1)观察上述方程及其解的特征,比较关于的方程与上述方程的关系,猜想它的解是什么?并利用“方程的解”的概念进行验证;( 2)由上述的观察、比较、猜想、验证,可以得出结论:如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边的形式与左边完全相同,只是把其中的未知数换成了某个常数,那么这样的方程可以直接求解.

请用这个结论解关于的方程:

析解:本题提供了一个“从简 单情形入手,探究发现一般规律,归纳猜想结论,并验证、运用规律”的数学问题情景.解决此题的基础是能从所给的材料中观察、感悟出具有上述特征的方程解的 特征,即每个方程左右两边形式是完全相同的,具有结构的对称美,两个解分别等于方程右边的两项;关键是能高瞻远瞩、大胆猜想出结论并加以验证;难点是如何 将所要解决的方程变形为所提供的特征方程的形式,从而利用归纳猜想的规律解题.( 1)略;( 2)原方程可化为,根据猜想的规律有:所以

2观察下面的图形(每个正方形的边长为 1)和相应的等式,探究其中的规律.

1)写出第五个等式,并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图形;

2)猜想并写出与第个图形相对应的等式.

析解:( 1)本题创设了一个通过观察几何图形的面积来探究、验证相应的代数恒等式成立的“数形结合”的数学模型情景,同时也给同学们提供了一个“从简单情形入手,发现问题规律”的探究问题的思维方法.

本题的数学内涵是“阴影部分的面积既可以直 接求解,也可以间接求解———用整体图形的面积减去空白部分的面积”.根据两种方法得到的面积相等,容易知道①,②,③,④具有的数学规律成立.观察数学 表达式①,②,③,④和相应的图形容易发现:第五个等式和与之对应的图形为:

2)第个图形相对应的等式为:

从上述解题过程中,不难看出猜想是一种高层 次的思维活动,是数学探索发现过程中的一种创造性的思维,这类问题既能考查同学们对数学知识的掌握程度,又有利于同学们收集、处理信息能力的培养,同时又 促进了同学们进行科学探究思维方式的养成,为发展创新思维奠定了基础.随着新课程的实施,相信今后中考试题中“数学猜想”问题必将出现一个百花盛开、万紫 千红的新局面.