我们知道，复数 z= a+ bi（ a, b∈ R）与其共轭复数 z= a-bi（ a, b∈ R）在形式上区别很小，只是虚部有点小变化——互为相反数，没有其它变化.但就是这一小小变化，为我们进行复数的运算及证明带来了方便下面我们就来看看，共轭复数为我们带来一些性质及其应用
（ 1）定义：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数.复数 z的共轭复数用来表示，即当 z= a+ bi时，= a-bi.
由定义可知，在复平面内，复数 z与其共轭复数所对应的点关于实轴对称
（ 2）与模有关的性质：①| z|=||；② z= a 2+ b 2=| z| 2=|| 2.
①由模的定义可知，| z|=，||=，所以有| z|=||；②由复数的运算性质可知： z= a 2+ b 2=| z| 2=|| 2.
复数的除法，就是利用了性质 z= a 2+ b 2把复数的除法问题转化为了熟悉的复数的乘法问题，如；为复数的除法运算带来了很大的方便
（ 3）运算性质：①；②、；③.
①设= a+ bi,= c+ di（ a， b， c， d∈ R）则==（ a+ c） -（ b+ d） i=（ a-bi）+（ c-di）=，即，同理.
②==（ ac-bd） -（ ad+ bc） i，而=（ a-bi）（ c-di）=（ ac-bd） -（ ad+ bc） i，故，同理.
③
有了此运算性质，对含有共轭复数的运算，提供了方便
（ 4）重要结论：① z∈ R z=；②非零复数 z是纯虚数 z+= 0.
此结论为我们证明一个数是实数或纯虚数奠定了理论基础如：设 z 1, z 2∈ C,若 A=， B=，则 A与 B能否比较大小？
解：因为 z 1, z 2∈ C， B==∈ R，
又因为 A=，所以
所以 A∈ R，所以 A与 B可以比较大小.
