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小变化,带来大方便

我们知道,复数 z= a+ bia, bR)与其共轭复数 z= a-bia, bR)在形式上区别很小,只是虚部有点小变化——互为相反数,没有其它变化.但就是这一小小变化,为我们进行复数的运算及证明带来了方便下面我们就来看看,共轭复数为我们带来一些性质及其应用

1)定义:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫做互为共轭复数.复数 z的共轭复数用来表示,即当 z= a+ bi时,= a-bi.

由定义可知,在复平面内,复数 z与其共轭复数所对应的点关于实轴对称

2)与模有关的性质:①| z|=||;② z= a 2+ b 2=| z| 2=|| 2.

①由模的定义可知,| z|=,||=,所以有| z|=||;②由复数的运算性质可知: z= a 2+ b 2=| z| 2=|| 2.

复数的除法,就是利用了性质 z= a 2+ b 2把复数的除法问题转化为了熟悉的复数的乘法问题,如;为复数的除法运算带来了很大的方便

3)运算性质:①;②;③.

①设= a+ bi,= c+ diabcdR)则==( a+ c-b+ di=( a-bi)+( c-di)=,即,同理.

==( ac-bd-ad+ bci,而=( a-bi)( c-di)=( ac-bd-ad+ bci,故,同理.

有了此运算性质,对含有共轭复数的运算,提供了方便

4)重要结论:① zR z=;②非零复数 z是纯虚数 z+= 0.

此结论为我们证明一个数是实数或纯虚数奠定了理论基础如:设 z 1, z 2C,若 A=B=,则 AB能否比较大小?

解:因为 z 1, z 2CB==R

又因为 A=,所以

所以 AR,所以 AB可以比较大小.