我们知道,复数 z= a+ bi( a, b∈ R)与其共轭复数 z= a-bi( a, b∈ R)在形式上区别很小,只是虚部有点小变化——互为相反数,没有其它变化.但就是这一小小变化,为我们进行复数的运算及证明带来了方便下面我们就来看看,共轭复数为我们带来一些性质及其应用
( 1)定义:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫做互为共轭复数.复数 z的共轭复数用来表示,即当 z= a+ bi时,= a-bi.
由定义可知,在复平面内,复数 z与其共轭复数所对应的点关于实轴对称
( 2)与模有关的性质:①| z|=||;② z= a 2+ b 2=| z| 2=|| 2.
①由模的定义可知,| z|=,||=,所以有| z|=||;②由复数的运算性质可知: z= a 2+ b 2=| z| 2=|| 2.
复数的除法,就是利用了性质 z= a 2+ b 2把复数的除法问题转化为了熟悉的复数的乘法问题,如;为复数的除法运算带来了很大的方便
( 3)运算性质:①;②、;③.
①设= a+ bi,= c+ di( a, b, c, d∈ R)则==( a+ c) -( b+ d) i=( a-bi)+( c-di)=,即,同理.
②==( ac-bd) -( ad+ bc) i,而=( a-bi)( c-di)=( ac-bd) -( ad+ bc) i,故,同理.
③
有了此运算性质,对含有共轭复数的运算,提供了方便
( 4)重要结论:① z∈ R z=;②非零复数 z是纯虚数 z+= 0.
此结论为我们证明一个数是实数或纯虚数奠定了理论基础如:设 z 1, z 2∈ C,若 A=, B=,则 A与 B能否比较大小?
解:因为 z 1, z 2∈ C, B==∈ R,
又因为 A=,所以
所以 A∈ R,所以 A与 B可以比较大小.