在解关于等比数列的题目时,若能充分利用等比数列的相关性质,往往能够起到简化运算的作用本文介绍等比数列两个非常有用的性质,供同学们参考
性质 1设等比数列
的公比
,若
也是等比数列,则
.
证明： 因为为等比数列,则对任意的
,有
( 1)
因为是等比数列,所以 
( 2)
由( 1)( 2)两式易得:
.
因为
,所以.
例 1( 1)已知数列
,其中
,且数列
为等比数列,求常数
；( 2)设
是公比不相等的两个等比数列, 
,证明数列不是等比数列
解：( 1)
,
当
时, 
为等比数列;
当
时，
=
,因为数列为等比数列,所以
是等比数列,由命题可知, 即
为等比数列的充要条件是
即
.
综上可知,=
或
.
( 2)因为是公比不相等的两个等比数列,则
是公比不为 1的等比数列.
假设是等比数列,则
也是等比数列,而由命题知即
为等比数列的充要条件是 1= 0,矛盾.所以不是等比数列
例 2记等比数列{
}的前 n项和为
，是否存在常数 c，使对任何自然数 n，恒有
？
解：设{}的公比为 q，首项为
⑴当 q= 1时，
假设存在 c，使得 n
N时,.
即
整理得: 
,显然不成立所以此时不存在 c满足条件.
⑵当 q
1时，有成立，则
成等比数列
∵
，
且
与
为等比数列
∴根据
是等比数列的充要条件是
= 0
即
又∵ ∴
所以，存在常数，使对任何自然数 n，恒有.
性质 2数列
是公比为
的等比数列，为的前
项之和，则新构成的数列
仍为等比数列，且公比为
.
证明： ①当
时，，
则
（常数）
所以数列
是以为首项， 1为公比的等比数列；
②当时，
则
（常数），所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
由①②得，数列为等比数列，且公比为.
例 3在等比数列中，
，
，求
的值
解：因为
由上述等比数列性质知，构造新数列
其是首项为，公比为
的等比数列，是新数列的第 5项，所以
.
例 4已知等比数列前项的和为 2，其后
项的和为 12，求再后面
项的和
解：由
，
，
因
成等比数列，其公比为
，所以问题转化为：
求
的值
因为 得
，所以
或
，
于是
.
