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看“角”识“平行”

两条直线在同一平面内,只有相交和平行两种位置关系.“两直线相交”意味着两直线只有一个交点;“两直线平行”意味着两直线在同一平面内无交点.“两直线平行”的判断有很多办法,今天讲的是“看角识平行”.哪些角才能判断两直线平行了?

平行线的判定定理 1:_____________________________________;

平行线的判定定理 2:_____________________________________;

平行线的判定定理 3:_____________________________________.

典型例题:

1

如图 1,∠ 1= 70°,∠ 2= 110°,求证: AB// CD.

分析:利用直线平行的条件来证明.

证明证法一:∵∠ 2=∠ 5(对顶角相等)

∴∠ 5=∠ 2= 110(等量代换)

∵∠ 1= 70°(已知)

∴∠ 5+∠ 1= 180

AB// CD(同旁内角互补,两直线平行)

证法二:∵∠ 1+∠ 3= 180

∵∠ 1= 70°

∴∠ 3= 110

∵∠ 2= 110°

∴∠ 2=∠ 3

AB// CD(同位角相等,两直线平行)

证法三:∵∠ 2+∠ 4= 180

∵∠ 2= 110°

∴∠ 4= 70°

∵∠ 1= 70°

∴∠ 1=∠ 4

AB// CD(内错角相等,两直线平行)

友情提示:基本证法、基本书写格式、同学们要熟悉.

2、如图 2,∠ BAD=∠ BCDCFAE是∠ BCD、∠ BAD的角平分线,∠ 1=∠ 2.

求证: DC// AB.

分析:由角判断平行的方法有三种,同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.根据不同图形条件,选择适当的方法,本题选内错角更好一些.

证明:∵ CFAE是∠ BCD、∠ BAD的角平分线(已知)

∴∠ BCD= 22,∠ BAD= 23(角平分线定义)

又∵∠ BAD=∠ BCD

∴∠ 2=∠ 3(等量代换)

∴∠ 1=∠ 2(已知)

∴∠ 1=∠ 3(等量代换)

DC// AB(内错角相等,两直线平行)

友情提示:选择最容易证明的方法.

3、如图 3,已知∠ BED=∠ B+∠ D,试说明 ABCD的位置关系.

分析:由已知条件无法直接判断 ABCD的位置关系,需构造应用定理的条件,为此过 EEF// AB作为中间过渡条件.

解: AB// CD

理由如下:

过点 EEF// AB

EF// AB

∴∠ B=∠ BEF

∵∠ BED=∠ BEF+∠ FED

∴∠ BED=∠ B+∠ FED

∵∠ BED=∠ B+∠ D

∴∠ D=∠ FED

EF// CD

AB// CD(平行于同一直线的两直线平行)

友情提示:此题还有其他的方法,例如:过点 E作∠ B=∠ BEF,也能证明出来.

刚才的方法是一种常见的辅助线方法,同学们一定要熟悉它,并能灵活运用.

自我测试:

1)如图 4BE平分∠ ABDDE平分∠ BDC,∠ 1+∠ 2= 90,那么直线 ABCD的位置关系如何?

2)如图 5,已知∠ B+∠ C+∠ D= 360,则 AB// ED,为什么?

答案:

1AB// CD

理由如下:

BE平分∠ ABDDE平分∠ BDC

∴∠ ABD= 21,∠ BDC= 22

∴∠ ABD+∠ BDC= 21+ 22

∵∠ 1+∠ 2= 90

∴∠ ABD+∠ BDC= 180

AB// CD

2)如图 6,过点 CCF// AB

CF// AB

∴∠ 1+∠ B= 180

∵∠ BCD=∠ 1+∠ 2

∵∠ B+∠ BCD+∠ D= 360

∴∠ B+∠ 1+∠ 2+∠ D= 360

∴∠ 2+∠ D= 180

CF// ED

AB// ED