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不等式(组)中蕴含的数学思想

与一元一次不等式有关的题型比较多,针对不同的已知条件,可选用不同的数学思想去分析、探索求解方法

一、数形结合思想

数形结合思想就是借助数与形的相互转化来研究和解决问题的一种思想方法在解决与不等式组有关的问题时,有时需要结合数轴来解决问题如用数轴表示不等式的解集或根据数轴上表示的不等式组的解集写不等式等

1、根据如图所示的解集,写出一个与之相符合的不等式组.

分析:本题是一道开放型问题,所写的不等式组可以有多种情况解决本题首先结合数轴上所表示的范围,写出不等式组的解集,然后再根据解集

确定与之相符合的不等式组

解:观察数轴可得不等式组的解集可表示为 -2x< 3.也就是,在这个解集的基础上,根据不等式的基本性质进行变形可得到不等式组如

点拨:数形结合思想是一种重要的数学思想,在解不等式组问题时时常用到,应根据具体的问题领会这种数学思想

二、整体思想

整体思想就是从整体的角度出发思考、解解决问题的一种思想方法在解决与不等式组有关的问题中时常用到这种数学思想

2、已知-1< x+ y< 0,则 k的取值范围是___________.

分析:要求 k的范围,需要根据已知条件中构造关于 k的不等式组,观察方程组可知,将方程组中的两个方程直接相加,可得到 3 x+ 3 y= 2 k+ 3,然后变形后整体代入不等式 -1< x+ y< 0,得到关于 k的不等式组,解不等式组即可确定 k的范围.

解:将方程组中的两个方程相加,得 3 x+ 3 y= 2 k+ 3,所以 x+ y=,代入 -1< x+ y< 0,得 -1<< 0,

解得< k< 3.

点拨:本题在求解过程中,两次涉及到整体变换,一是将方程组中的两个方程整体相加;二是将 x+ y的值整体代入,这样比求出方程组的解后再代入要简单多了.在解决类似问题时,应注意整体思想的灵活应用

三、建模思想

根据实际问题中的不等关系建立不等式模型,借助于不等式(组)来解决问题的一种数学思想

3.元旦期间,刘师傅购买了一些元旦卡片送给灾区某小学的小朋友作为节日礼物.如果每班分 10套,那么余 5套;如果前面的班级每个班分 13套,那么最后一个班级不足 4套.问:该小学有多少个班级?元旦卡片共有多少套?

分析:根据问题可以发现问题存在着不等关系, 根据不等关系可设未知数,用含有未知数的代数式表示不等关系中量,列出不等式组,通过解不等式组来解决问题

解:设该小学有 x个班,则卡片共有套.

由题意,得

解之,得

因为 x只能取整数,所以 x= 5,此时

所以该小学有 5个班级,共有卡片 55套.

点拨:当实际问题中存在两个不等关系时,可根据不等关系建立不等式模型,通过解不等式来解决问题