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书中觅知——从课本中总结知识

题源:教材 P 47练习第 2题:在中,已知,则 sinA=_______ -.

本题牵涉到已知两边和其中一边的对角解三角形的问题,此类题目既可以用正弦定理解决,有可以用余弦定理解决,下面通过具体的实例来分析两种方法的适用范围及注意事项

1. 1的三边长分别为,若,则 A等于________;

2的三边长分别为,则___________

分析:利用正弦定理求解角的正弦值,再根据大边对大角对角进行取舍

解:( 1)在中,利用正弦定理:,所以,因为,所以.

2)由正弦定理:,得,又因为,故 B> A,所以.

答案:( 1;( 2.

点评:( 1)已知两边及其中一边的对角,当求三角形中的另两个角时一般利用正弦定理求解;

2)利用正弦定理求解此类问题时,先求出的是正弦值,此时应根据大边对大角合理取舍角的值.

2. 的三边长分别为,则 c=.

分析:已知角 B,且所求为另一边的长,可利用余弦定理直接求解.

解:因为,由余弦定理可得,代入求得 c= 1(舍)

点评:已知两边及其中一边的对角求解另一边时,若用正弦定理求解步骤较多,角麻烦,此时可直接利用余弦定理进行求解

从上面两例可知,已知两边及其中一角,此时的三角形有可能有两解也有可能有一解,一解或两解应满足什么条件呢?

3.如果满足金太阳新课标资源网(  http://wx.jtyjy.com/)恰有一个,那么的取值集合是 ____________

分析:思路一:根据正弦定理用 k表示角 A的正弦值,根据的取值范围进行求解;思路二:画出草图,根据两解、一解的情况分别分析

解:方法一:由正弦定理:,因为,欲使三角形的解只有一个,即角 A的值只有一个,即函数与函数的图像只有一个交点,由此可得,解得.

方法二:( 1)当 ACBCsinABC,即 12ksin 60°,即 k8时,三角形无解;

2)当 AC= BCsinABC,即 12= ksin 60°,即 k= 8时,三角形有 1解;

3)当 BCsinABCACBC,即 ksin 60°< 12k,即 12k8,三角形有 2个解;

4)当 0BCAC,即 0k12时,三角形有 1个解.

综上所述:当 0k12k= 8时,三角形恰有一个解.

点评:这两种方法都可以解决问题,方法一是把新问题转化为熟悉的问题进行求解;方法二是运用了数形结合思想,使问题形象直观