题源:教材 P 47练习第 2题:在中,已知,则 sinA=_______ -.
本题牵涉到已知两边和其中一边的对角解三角形的问题,此类题目既可以用正弦定理解决,有可以用余弦定理解决,下面通过具体的实例来分析两种方法的适用范围及注意事项
例 1. ( 1)的三边长分别为,若,则 A等于________;
( 2)的三边长分别为,,,则___________
分析:利用正弦定理求解角的正弦值,再根据大边对大角对角进行取舍
解:( 1)在中,利用正弦定理:,所以,因为,所以.
( 2)由正弦定理:,得,又因为,故 B> A,所以或.
答案:( 1);( 2)或.
点评:( 1)已知两边及其中一边的对角,当求三角形中的另两个角时一般利用正弦定理求解;
( 2)利用正弦定理求解此类问题时,先求出的是正弦值,此时应根据大边对大角合理取舍角的值.
例 2. 的三边长分别为,,则 c=.
分析:已知角 B,且所求为另一边的长,可利用余弦定理直接求解.
解:因为,由余弦定理可得,代入求得 c= 1或(舍)
点评:已知两边及其中一边的对角求解另一边时,若用正弦定理求解步骤较多,角麻烦,此时可直接利用余弦定理进行求解
从上面两例可知,已知两边及其中一角,此时的三角形有可能有两解也有可能有一解,一解或两解应满足什么条件呢?
例 3.如果满足,,的恰有一个,那么的取值集合是 ____________
分析:思路一:根据正弦定理用 k表示角 A的正弦值,根据的取值范围进行求解;思路二:画出草图,根据两解、一解的情况分别分析
解:方法一:由正弦定理:得,因为,欲使三角形的解只有一个,即角 A的值只有一个,即函数与函数的图像只有一个交点,由此可得或,解得或.
方法二:( 1)当 AC< BCsin∠ ABC,即 12< ksin 60°,即 k> 8时,三角形无解;
( 2)当 AC= BCsin∠ ABC,即 12= ksin 60°,即 k= 8时,三角形有 1解;
( 3)当 BCsin∠ ABC< AC< BC,即 ksin 60°< 12< k,即 12< k< 8,三角形有 2个解;
( 4)当 0< BC≤ AC,即 0< k≤ 12时,三角形有 1个解.
综上所述:当 0< k≤ 12或 k= 8时,三角形恰有一个解.
点评:这两种方法都可以解决问题,方法一是把新问题转化为熟悉的问题进行求解;方法二是运用了数形结合思想,使问题形象直观