三角板是同学常用的画图工具,但当一副三角板凑在一起,并且绕一个顶点不停的旋转时,那就要发生很多的变化。现在我们来看看怎样的旋转了?
例:已知将一副三角板(直角三角板 OAB和直角三角板 OCD,∠ AOB= 90°,∠ COD= 30°)如图 1摆放,点 O、 A、 C在一条直线上.将直角三角板 OCD绕点 O逆时针方向转动,变化摆放如图位置
( 1)如图 1,当点 O、 A、 C在同一条直线上时,∠ BOD的度数是__________,
如图 2,若要 OB恰好平分∠ COD,则∠ AOC的度数是_______________
( 2)如图 3,当三角板 OCD摆放在∠ AOB内部时,作射线 OM平分∠ AOC,射线 ON平分∠ BOD,如果三角板 OCD在∠ AOB内绕点 O任意转动,∠ MON的度数是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,说明理由.
( 3)当三角板 OCD从图 1的位置开始,绕点 O逆时针方向旋转一周,保持射线 OM平分∠ AOC、射线 ON平分∠ BOD(∠ AOC≤ 180°,∠ BOD≤ 180°),在旋转过程中,( 2)中的结论是否保持不变?如果保持不变,请说明理由;如果变化,请说明变化的情况和结果(即旋转角度 a在什么范围内时∠ MON的度数是多少).
分析:利用三角板角的特征:一个三角板是 30°, 30°, 90°;另一个三角板是 45°, 45°, 90°.
( 1)由图可得角之间的关系:∠ BOD= 90° -∠ COD,∠ AOC= 90° -∠ COD,据此解答
( 2)由图可得角之间的关系:∠ MON=(∠ AOB -∠ COD)+∠ COD
( 3)可分以下情况考虑:①当 0°<α< 180°时;②α= 180°时,两种情况:点 M在 OB上和点 M在 BO上;③ 180°<α< 240°时;④ 240°<α< 360°时:
解:( 1)∠ BOD= 90° -∠ COD= 90° -30°= 60°,
∵ OB平分∠ COD
∴∠ AOC= 90° -=.
( 2)不变, 60°.
理由如下:
∵ OM平分∠ AOC, ON平分∠ BOD
∴∠ MOC=∠ AOC;∠ DON=∠ BOD
又∵∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB -∠ COD= 90° -30°= 60°.
∴∠ MON=∠ MOC+∠ DON+∠ COD
∴∠ MON=∠ AOC+∠ BOD+∠ COD
=(∠ AOC+∠ BOD)+∠ COD
=
= 60°.
( 3)①当 0°<α< 180°时,
∠ MON=( 90°+∠ BOC)+( 30°+∠ BOC) -∠ BOC= 60°
②α= 180°时,即∠ AOC为平角,
( 1)点 M在 OB上,
∴∠ MOD=∠ BOC+∠ COD= 90°+ 30°= 120°,
又∵ ON平分∠ BOD,
∴∠ MON= 120×= 60°.
( 2)点 M在 BO上,
∠ MON= 180° -60°= 120°.
故∠ MON= 60°或 120°
③ 180°<α< 240°时,
2( 30°+∠ MOD)+ 90°+∠ CON+(∠ CON+ 30°)= 360°,
解得:∠ MOD+∠ CON= 90°,则
∠ MON= 90°+ 30°= 120°
④ 240°<α< 360°时,
∠ MON=( 30° -∠ AOD)+( 90° -∠ AOD)+∠ AOD= 60°.
这道题对于初一的同学来说很复杂,但想解决这道题就是要找出变化过程中的不变量,需要结合图形来计算,对同学们的作图、分析、计算能力有较高要求.在计算分析的过程中注意动手操作,在旋转的过程中得到不变的量.