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旋转的三角板

三角板是同学常用的画图工具,但当一副三角板凑在一起,并且绕一个顶点不停的旋转时,那就要发生很多的变化。现在我们来看看怎样的旋转了?

例:已知将一副三角板(直角三角板 OAB和直角三角板 OCD,∠ AOB= 90°,∠ COD= 30°)如图 1摆放,点 OAC在一条直线上.将直角三角板 OCD绕点 O逆时针方向转动,变化摆放如图位置

1)如图 1,当点 OAC在同一条直线上时,∠ BOD的度数是__________,

如图 2,若要 OB恰好平分∠ COD,则∠ AOC的度数是_______________

2)如图 3,当三角板 OCD摆放在∠ AOB内部时,作射线 OM平分∠ AOC,射线 ON平分∠ BOD,如果三角板 OCD在∠ AOB内绕点 O任意转动,∠ MON的度数是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,说明理由.

3)当三角板 OCD从图 1的位置开始,绕点 O逆时针方向旋转一周,保持射线 OM平分∠ AOC、射线 ON平分∠ BOD(∠ AOC180°,∠ BOD180°),在旋转过程中,( 2)中的结论是否保持不变?如果保持不变,请说明理由;如果变化,请说明变化的情况和结果(即旋转角度 a在什么范围内时∠ MON的度数是多少).

分析:利用三角板角的特征:一个三角板是 30°, 30°, 90°;另一个三角板是 45°, 45°, 90°.

1)由图可得角之间的关系:∠ BOD= 90° -COD,∠ AOC= 90° -COD,据此解答

2)由图可得角之间的关系:∠ MON=(∠ AOB -COD)+∠ COD

3)可分以下情况考虑:①当 0°<α< 180°时;②α= 180°时,两种情况:点 MOB上和点 MBO上;③ 180°<α< 240°时;④ 240°<α< 360°时:

解:( 1)∠ BOD= 90° -COD= 90° -30°= 60°,

OB平分∠ COD

∴∠ AOC= 90° -=.

2)不变, 60°.

理由如下:

OM平分∠ AOCON平分∠ BOD

∴∠ MOC=AOC;∠ DON=BOD

又∵∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB -COD= 90° -30°= 60°.

∴∠ MON=∠ MOC+∠ DON+∠ COD

∴∠ MON=AOC+BOD+∠ COD

=(∠ AOC+∠ BOD)+∠ COD

=

= 60°.

3)①当 0°<α< 180°时,

MON=90°+∠ BOC)+30°+∠ BOC-BOC= 60°

②α= 180°时,即∠ AOC为平角,

1)点 MOB上,

∴∠ MOD=∠ BOC+∠ COD= 90°+ 30°= 120°,

又∵ ON平分∠ BOD

∴∠ MON= 120×= 60°.

2)点 MBO上,

MON= 180° -60°= 120°.

故∠ MON= 60°或 120°

180°<α< 240°时,

230°+∠ MOD)+ 90°+∠ CON+(∠ CON+ 30°)= 360°,

解得:∠ MOD+∠ CON= 90°,则

MON= 90°+ 30°= 120°

240°<α< 360°时,

MON=30° -AOD)+90° -AOD)+∠ AOD= 60°.

这道题对于初一的同学来说很复杂,但想解决这道题就是要找出变化过程中的不变量,需要结合图形来计算,对同学们的作图、分析、计算能力有较高要求.在计算分析的过程中注意动手操作,在旋转的过程中得到不变的量.