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帮你走出排列组合的迷雾( 2

专题三 穷举法在计数问题中的应用

穷举法主要是适用于用排列组合解决时需分类较多的情况,或用排列组合无从下手解决,或选择支中数目较小,或计数方法有规律可遵循的题目针对上述题目,与其花大量时间去思考怎么用排列组合知识进行解决,不如用“最笨”的方法——一一列举的方法进行解决此法看似笨拙,实则省时、省力

①穷举法在结果数目较小的排列组合问题中的应用

13.1-6这六个数字分别填到下图中,使三角形每条边上的三个数之和相等,则共有()种填写方法.

A. 24 B. 21 C. 18 D. 12

分析:从所给选项可以看出,填写方法的种数不多,可以使用穷举法解决

由题意可得位置 ABCDEF上的数字满足,由题意得,一定能被 3整除,而的值一定为 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6= 21能被 3整除,故

也一定能被 3整除,由此可得的值可能分别为 123,或 126,或 135,或 1ANOAHDIGITAL 10ANOAHDIGITAL 11,或 ANOAHDIGITAL 12ANOAHDIGITAL 13ANOAHDIGITAL 14,或 ANOAHDIGITAL 15ANOAHDIGITAL 16ANOAHDIGITAL 17,或 ANOAHDIGITAL 18ANOAHDIGITAL 19ANOAHDIGITAL 20.

根据题中三角形每条边上的三个数之和相等,当的值分别为 123时,则直角三角形每一条边上的和为,如图所示是其中一种填法,

显然数字 123的位置可以在位置 ADF上任意排列,其对应的填法共有 6种;

以此类推,可得的取值只能是 123,或 135,或 246,或 4ANOAHDIGITAL 10ANOAHDIGITAL 11,而每一种取值对应种填法,故有 4× 6= 24种.

反思:从选项可看出,填法种数不多,适合用穷举法解决另此类题目的解决需要找到突破口,然后再根据突破口结合穷举法解决起来就相对容易一些

②穷举法在有规律可遵循的排列组合问题中的应用

14.1)( 2012.河北保定八校联考)已知 三边 abc的长都是整数,且 ,如果,则符合条件的三角形共有( )个

A124 B225 C300 D325

2)( 2012.四川南充高三第一次适应性考试)任取三个互不相等的正整数,其和小于 100,则由这三个数构成的不同的等差数列共有()个

A. 528 B. 1056 C. 1584 D. 4851

分析:( 1)根据三边构成三角形的条件可知,.

第一类,当时, c可取 251个值;

第二类,当时, c可取 25262个值;

第当时, c可取 2526、… 4925个值;所以其三角形的个数为 1+ 2+…+ 25= 325.

2)先确定等差数列的中间项,再确定第一、三项.

设这三个成等差数列的数分别为 abc.

由题意得,即,得可以取 23、… 3332个数.

第一类,时,的取值共有 2个(对应的是两个数列);

第二类,时,的取值共有 4个;

……

第三十二类,时,的取值共有 64个.

根据分类加法计数原理,可得满足题意的数列共有 2+ 4+…+ 64= 1056个.

答案:( 1D;( 2B.

反思:本题是利用分类计数原理进行求解的本题还有其它解法,但在有限的时间内,此法是比较容易想到且节省时间的一种方法,由此我们也知,解决计数问题的方法要根据实际情况而定,不要固守一法

专题四 分类与分步计数原理的综合运用

两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关即“联斥性”:( 1)对于加法原理有以下三点:①“斥”——互斥独立事件;②模式:“做事”——“分类”——“加法”③关键:抓住分类的标准进行恰当地分类,要使分类既不遗漏也不重复.2)对于乘法原理有以下三点:①“联”——相依事件;②模式:“做事”——“分步”——“乘法”③关键:抓住特点进行分步,要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立.

15.车间有 11名工人,其中 5名男工是钳工, 4名女工是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这 11名工人中选派 4名钳工, 4名车工修理一台机床,有多少种选派方法?

分析:选派的结果中既有钳工又有车工,所以可分步选派,但这 11名工人中有两名即可以当钳工又可以当车工的老师傅比较特殊,应先以这两名老师傅有几名被选中、被选中后是作为钳工还是作为车工进行分类,然后再根据需要分步选派其他工人.

解:第一类,两名老师傅都没有被选派,钳工的选派方法有种,车工的选派方法有种,根据分步乘法计数原理,有种选派方法;

第二类,两名老师傅只有一名被选派去做钳工,老师傅的选派方法有种,钳工的选派方法有种,车工的选派方法有种,根据分步乘法计数原理,有种选派方法;

第三类,两名老师傅只有一名被选派去做车工,老师傅的选派方法有种,钳工的选派方法有种,车工的选派方法有种,根据分步乘法计数原理,有种选派方法;

第四类,两名老师傅都被选派去做钳工,老师傅的选派方法有种,钳工的选派方法有种,车工的选派方法有种,根据分步乘法计数原理,有种选派方法;

第五类,两名老师傅都被选派去做车工,老师傅的选派方法有种,钳工的选派方法有种,车工的选派方法有种,根据分步乘法计数原理,有种选派方法;

第六类,两名老师傅都被选派一名做车工一名做钳工,老师傅的选派方法有种,钳工的选派方法有种,车工的选派方法有种,根据分步乘法计数原理,有种选派方法;

根据分类加法计数原理,满足题意的选派方法共有

反思: 此题属于全能与专项问题,此类问题应分类分步解决分类的依据就是全能选手有多少被选中且分别做什么工作

专题五 排列与组合在计数问题中的综合运用

排列组合的综合应用要注意掌握适当的处理方法和处理原则,如合理分类,准确分步、特殊优先,一般在后、直接排除,灵活选择等原则与策略,同时还需要弄清排列与组合的区别与联系,选择合理的方法进行计数问题的解决

16.5个男生和 3个女生,从中选出 5人担任 5门不同学科的课代表,分别求符合下列条件的选法数:

1)有女生但人数必须少于男生;

2)某女生一定要担任语文课代表;

3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;

4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.

分析:

解:( 1)先选后排.课代表人员的选法有种,排列方法有种,所以满足题意的选法有

2)除去该女生后,即相当于剩余的 7名学生担任四科的课代表,有种选法

3)先选后排.从剩余的 7名学生中选出 4名有种选法,排列方法有,所以选法共有

4)先从除去该男生该女生的 6人中选出 3人,有种选法,该男生的安排方法有种,其余 3人全排,有种,因此满足题意的选法共有

反思:对于所取元素“含在其中”“不在其中”的问题,一般先将所给元素分类,再弄清所取元素来源于哪一类,最后对选出的元素进行排列,即要满足先选后排的原则

专题六 二项式定理的应用

二项式定理丰富地展示了待定系数法、构造法、特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想和方法二项式定理的主要应用有以下几个方面:( 1)求特定项的系数.根据二项式定理写出展开式的通项,根据需要对通项中的 r进行复制,从而求出特定项的系数;( 2)求和.求二项展开式系数和的基本方法是赋值法在解决有些数列求和问题时,要注意将问题转化,为应用二项式定理创造条件;( 3)解决整除问题.用二项式定理可以求余数和证明整除问题,通常需要将底数化成两个数的和或差的形式,且这种转化形式与除数有密切的关系,再用二项式定理展开,只考虑前面或后面的一两项即可;( 4)解不等式或证明恒等式或不等式.

①特定项系数及最大、最小项问题

17. 已知展开式里的倒数第三项的系数为 45.

( 1)求含有的项;

( 2)求系数最大的项.

分析:先根据条件求出 n的值,在利用通项求含的项;因为被展开的式子中含 x的项的系数都为 1,所以

解:已知展开式中倒数第三项的系数为 45,则,即,得,解得(不合题意)或.

( 1)求展开式中含的项.

由通项公式 ,得

.

故含有的项是第 7

( 2)∵的展开式共 11项,系数最大项是第 6项.

点评:利用二项式系数的性质,可以把在展开式中靠后的二项式系数转化为靠前的二项式系数,转化后可简化解题过程(本例( l)的解决);还可以解决与某些较为简单的二项展开式系数的最大(或最小)的有关问题,但应注意区分二项式系数和展开式系数这两个不同的概念,以及如何将展开式系数的最大与最小的问题转化为用二项式系数的最大性来解决问题,本例( 2)便是利用二项式系数的最大性来解决问题的,这是因为( a+ b) n的展开式的系数与二项式系数相等的缘故.

②赋值法在求特定项系数中的应用

已知,则__________

分析:欲求,需先求,再求,应用赋值法求解

再令

所以.

答案:

反思:求展开式中各项系数的和的一个有效办法就是赋值法赋于变量的值往往是等等

③二项式定理在解决整除问题中的应用

18.ab是两个整数,若存在整数 d,使得高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,称“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。整除高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。”,记作高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。.给出命题:①高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。;②高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。;③高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,其中正确命题的题号是___________

分析:对于①,高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。必为偶数,

高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。为奇数,即高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。不正确.

对于②,高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。②正确.

对于③,高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。③正确,故填②③.

点评:利用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,转化成便于操作的二项式的结构,这是解决问题的关键,然后再用二项式定理展开,只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.

④二项式定理在不等式证明中的应用

利用二项式定理证明.

分析:只需证明成立即可

证明:.

由不等式的性质可知,.

反思:本题证明过程中将变形为,然后利用二项式定理展开,是解决本题的关键

专题七 计数问题中的新定义问题

新定义型计数问题是高考对计数问题考查的一个热点,新定义型计数问题的解题关键是正确理解新定义,把陌生问题转化为熟悉或已知的问题

19.我们定义非空集合 A的真子集的真子集为 A的“孙集”,则集合{ 2468

10}的“孙集”的个数是_______.

分析:根据“孙集”的定义,集合{ 246810}的真子集中最多含有 4个元素,故其“孙集”中最多含有 3个元素,最少可以含有 0个元素,因此一共可以有:

个“孙集”

反思:定义信息题是指题目设计一个陌生的数学情境,或定义一个概念,或给出一个规则,通过阅读相关信息,捕捉解题灵感而进行解答的一类新题型,解答这类题,解题者一定要认真阅读给出的新概念或新运算或新规则,在理解的基础上根据题目要求准确作答

20.对于各数互不相等的正数数组n是不小于 2的正整数),如果在*时有,则称是该数组的一个“好序”,一个数组中所有“好序”的个数称为此数组的“好序数”,例如,数组( 1342)中有好序“ 13”,“ 14”,“ 12”,“ ANOAHDIGITAL 10ANOAHDIGITAL 11”,其“好序数”等于 ANOAHDIGITAL 12,若各数互不相等的正整数组的“好序数”是 2,则的“好序数”是________

分析:易知各数互不相等的正数数组的“好序数”与的“好序数”之和为,所以的好序数是

反思:本题的关键是了解“*”时“” “”,“”三者必居其一,故在各数互不相等的正整数数组的“好序数”与的“好序数”之和为.