三、解答题(本大题包括 6小题,共 70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
17.( 12分)函数的部分图像如图所示
⑴ 求函数的解析式;⑵ 当时,求的取值范围
解:( 1)由图像得,,所以,则;将代入得,而,所以,因此函数;( 6分)
( 2)由于,,所以,
所以的取值范围是( 12分)
18.( 12分)数列的前项和是,且.
⑴ 求数列的通项公式;
⑵ 记,数列的前项和为,证明:.
解:( 1)由题 ① ②
①-②可得,则( 3分)
当时 ,则,则是以为首项,为公比的等比数列,
因此( 6分)
( 2),( 8分)
所以,( 10分)
( 12分)
19.( 12分)如图,在三棱柱中,侧面底面,, ,,为中点.
⑴ 证明:平面;
⑵ 求直线与平面所成角的正弦值;
⑶ 在上是否存在一点,使得平面若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由
解:( 1),且 O为中点,
,又侧面底面,交线为,,
平面( 4分)
( 2)如图,以 O为原点,分别以 OB、 OC、所在直线为 x、 y、 z轴,建立空间直角坐标系,则由题
可知,,,.
,令平面的法向量为,则,而,,可求得一个法向量,所以
,
故直线与平面所成角的正弦值为( 8分)
( 3)存在点为线段的中点
证明:连结交于点,连结、,则为的中点,从而是的一条中位线,,而平面,平面,所以平面,故的中点即为所求的点( 12分)
20.( 12分)已知椭圆 C:的离心率为,其左、右焦点分别为、,点是坐标平面内一点,且,,其中为坐标原点
⑴求椭圆 C的方程;
⑵ 如图,过点,且斜率为的动直线交椭圆于、两点,在轴上是否存在定点,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:( 1)设,由可知①( 1分)
又,,即②( 2分)
①代入②得: 又,可得,故所求椭圆方程为( 4分)
( 2)设直线,代入,有.
设,则( 6分)
若轴上存在定点满足题设,则,,
( 9分)
由题意知,对任意实数都有恒成立,
即对成立解得,( 11分)
在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点( 12分)
21.( 12分)已知函数,且.
⑴ 若曲线在点处的切线垂直于轴,求实数的值;
⑵ 当时,求函数的最小值;
⑶ 在⑴的条件下,若与的图像存在三个交点,求的取值范围
解:由题意得:
;( 2分)
( 1)由曲线在点处的切线垂直于轴,结合导数的几何意义得,即,解得;( 4分)
( 2)设,则只需求当时,函数的最小值
令,解得或,而,即
从而函数在和上单调递增,在上单调递减
当时,即时,函数在上为减函数,;
当,即 时,函数的极小值即为其在区间上的最小值,
综上可知,当时,函数的最小值为;当时,函数的最小值为( 8分)
( 3)令,显然,则 构造函数,
令得,,,可知:在上单调递减,且,当无限减小时,保持恒负并无限接近于 0,其图像在下方无限靠近轴负半轴;在上单调递增,当无限接近于 0时,无限增大,其图像在左侧向上无限接近轴正半轴,由于极小值,所以在内存在一个零点;在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,因此在处取得极大值,在处取得极小值 当并无限靠近 0时,无限减小,其图像无限靠近轴负半轴,当无限增大时,也由负值变为正值无限增大,在区间内也存在一个零点 函数的大致图像如图所示:
根据条件与的图像存在三个交点,即方程有三个解,直线与函数的图像有三个公共点 因此或,即或,从而的取值范围是 ( 12分)
22.( 10分)选修 4- 1:几何证明选讲.
如图,已知⊙ O和⊙ M相交于 A、 B两点, AD为⊙ M的直径,直线 BD交⊙ O于点 C,点 G为中点,连结 AG分别交⊙ O、 BD于点 E、 F,连结 CE.
⑴ 求证:; ⑵ 求证:
证明( 1):已知 AD为⊙ M的直径,连接,则,,由点 G为弧 BD的中点可知,故∽,所以有,即( 5分)
( 2)由( 1)知,故∽,所以,即( 10分)