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函数表示法及图象学习指导

一、对于函数的三种常用表示法,应该认识到:

( 1)给出一种函数关系,根据需要,有时可以写出它的解析表达式,有时可以列出函数与其自变量的对应数值表,有时可以画出它的图象;反过来,也可以用一个解析式,或一个反映两个变量对应关系的数值表,或一个图象,来表示一个函数关系.

( 2)三种函数表示法的优缺点:

解析法便于了解两个变量之间的相依关系,书写方便,便于研究;但需要两变量之间的对应值时,有时计算较复杂,同时它的变化趋势不易看出.

列表法对于自变量和函数的对应值一目了然,但不易发现两变量之间的相依关系.在实际中不少售货员为计价方便,常制作表示售价与数量关系的表.

图象法直观、形象,便于观察函数中两个变量的变化趋势.如实际中表示一天气温变化的图.缺点:由图中观察得到的两个变量的对应值一般都是近似值.

1.图 1是某学生五次测验的成绩,根据图回答:

( 1)这个学生第一次测验是多少?

( 2)哪次测验成绩比上次退步?

( 3)五次测验中最高是几分?最低是几分

【分析】用图表列出测验次数与成绩的关系清楚明了.要想了解某次测验成绩,只需在次数栏中找出相应次数,然后根据图在成绩栏中找到对应的分数.从图中还清楚看到这个学生成绩变化的趋势:从第一次测验到第二次测验,图形向下,表示学习退步;第二次测验以后图形向上,表示学习进步.

【解】( 1)这个学生第一次测验是 70分;

( 2)第二次测验比第一次退步;

( 3)五次测验中最高约是 95分,最低为 50分.

说明:从图象中还可知道,这个学生的成绩是在进步.

2.( 1)如果点( -2,3)在函数的图象上,则 ___________;

( 2)若点( ,2)在函数的图象上,则___________.

【分析】点在函数的图象上,意味着点的坐标满足这个图象的解析式,也就是说,用点的横坐标代替自变量 x,用纵坐标代替函数 y等式成立,通过解方程可求得.

【解】( 1)由题意,得,解得

( 2)由题意,得,即,解得

说明:( 1)若图象上一点的坐标已知,则可求解析式中字母(只含一个)的值.( 2)若函数的解析式已知,图象上点的坐标只知其一,则可求出另一个.

二、理解函数图象的意义,必须注意到:

( 1)列表前要考虑自变量的取值范围,因为所取自变量的值一定在此范围内.

( 2)是把自变量 x与函数 y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标.

( 3)一般地,画函数图象所描点越多图象越精确,但一方面取点要合理,要注意点与点之间的变化趋势,另一方面特殊点(如与坐标轴的交点等)在自变量的取值范围内,各部均要有所考虑.

( 4)往往画出来的图象只是函数图象的一个局部.

( 5)观察所画函数图象的形状,看能通过观察图象知道什么.

3.如图 2所示,在 RtABC中, C= 90°, AC= 6BC= 8,设点 PBC边上一点, P点不与点 BC重合.且 CP=,若= SAPB

1)求之间的函数关系式;( 2)画出所求函数的图象.

【解】( 1)∵ SABC=× 6× 8= 24, SAPC=

SAPB= SABCSAPC= 243

的函数解析式为.又最大不能超过 8,最小不能为 0

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( 2)列表:

描点:描出( 6,6),( 4,12),( 2,18)各点.

连线:连出所求线段的图象(如图 3).

说明:( 1)求出函数的解析式后,必须根据题意讨论 x的取值范围.

2)注意( 8,0)、( 0,24)两点要用虚点.

4.某校广场有一段 30米长的旧围栏(图中用线段 EF表示),现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边,围建一块面积为 225平方米的长方形草坪(如图 4所示, ABAD),已知整修旧围栏的价格为每米 2元,建新围栏的价格是每米 5元.设利用的围栏 AD的长度为米,修建草坪围栏所需的总费用为元.

1)求出之间的函数关系式;并写出自变量的取值范围;

2)若计划修建费为 265元,则应利用旧围栏多少米?

3)若计划修建费只有 250元,能否完成该草坪的围栏修建任务,请说明理由.

【解】( 1.( 1530

2)由,整理得

解之得.(不合题意,舍去)

∴应利用旧围栏 25米.

3)假设修费用 250元能完成围栏修建任务,则

整理得

∵Δ=(- 250) 24× 7× 2250=- 5000

∴该方程没有实数根.

250元的修建费用不能完成该草坪的围栏修建任务.

说明:利用 250元的修建费,能否完成该草坪的围栏修建任务,实际上就是,当函数值为 250时,有无对应的自变量的值,在这里是通过解方程来完成的,因为该方程没有实数解,所以也就不能完成草坪围栏的修建任务.